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1.有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为 min f(x)      sub.to x1<x<x2  
在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。
函数   fminbnd
格式   x = fminbnd(fun,x1,x2)    %返回自变量x在区间 上函数fun取最小值时x值,fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)    % options为指定优化参数选项
[x,fval] = fminbnd(…)    % fval为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag] = fminbnd(…)    %xitflag为终止迭代的条件
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…)    % output为优化信息
说明   若参数exitflag>0,表示函数收敛于x,若exitflag=0,表示超过函数估计值或迭代的最大数字,exitflag<0表示函数不收敛于x;若参数output=iterations表示迭代次数,output=funccount表示函数赋值次数,output=algorithm表示所使用的算法。
例5-3   在[0,5]上求下面函数的最小值
f(x)=(x-3)^2-1
解:先自定义函数:在MATLAB编辑器中建立M文件为:
function f = myfun(x)
f = (x-3).^2- 1;
保存为myfun.m,然后在命令窗口键入命令:
>> x=fminbnd(@myfun,0,5)
则结果显示为:
x =
      3
2.无约束多元函数最小值
多元函数最小值的标准形式为 min f(x)
其中:x为向量,如
在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。
命令   利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值
函数   fminsearch
格式   x = fminsearch(fun,x0)    %x0为初始点,fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
x = fminsearch(fun,x0,options)    % options查optimset
[x,fval] = fminsearch(…)    %最优点的函数值
[x,fval,exitflag] = fminsearch(…)    % exitflag与单变量情形一致
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…)   %output与单变量情形一致
注意:fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
命令   利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值
函数   fminunc
格式   x = fminunc(fun,x0)    %返回给定初始点x0的最小函数值点
x = fminunc(fun,x0,options)    % options为指定优化参数
[x,fval] = fminunc(…)    %fval最优点x处的函数值
[x,fval,exitflag] = fminunc(…)    % exitflag为终止迭代的条件,与上同。
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(…)    %output为输出优化信息
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(…)    % grad为函数在解x处的梯度值
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(…)    %目标函数在解x处的海赛(Hessian)值
注意:当函数的阶数大于2时,使用fminunc比fminsearch更有效,但当所选函数高度不连续时,使用fminsearch效果较好。
例5-5   求 f(x)=3*x1^2+2*x1*x2+x2^2 的最小值。
>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';
>> x0=[1 1];
>> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)
结果为:
x =
   1.0e-008 *
    -0.7591     0.2665
fval =
   1.3953e-016
exitflag =
      1
output =
        iterations: 3
         funcCount: 16
          stepsize: 1.2353
     firstorderopt: 1.6772e-007
         algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'
grad =
   1.0e-006 *
    -0.1677
     0.0114
hessian =
     6.0000     2.0000
     2.0000     2.0000
或用下面方法:
>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')
fun =
      Inline function:
      fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2
>> x0=[1 1];
>> x=fminunc(fun,x0)
x =
   1.0e-008 *
    -0.7591     0.2665
3.有约束的多元函数最小值
非线性有约束的多元函数的标准形式为:
min f(x)
sub.to      C(x)<=0
            Ceq(x)=0
            A*x<=b
            Aeq*x=beq
            lb<=x<=ub




其中:x、b、beq、lb、ub是向量,A、Aeq为矩阵,C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数,f(x)为目标函数,f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。
在MATLAB5.x中,它的求解由函数constr实现。
函数   fmincon
格式   x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…)
参数说明:fun为目标函数,它可用前面的方法定义;
x0为初始值;
A、b满足线性不等式约束 ,若没有不等式约束,则取A=[ ],b=[ ];
Aeq、beq满足等式约束 ,若没有,则取Aeq=[ ],beq=[ ];
lb、ub满足 ,若没有界,可设lb=[ ],ub=[ ];
nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束 和等式约束 分别在x处的估计C和Ceq,通过指定函数柄来使用,如:>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon),先建立非线性约束函数,并保存为mycon.m:function [C,Ceq] = mycon(x)
C = …     % 计算x处的非线性不等约束 的函数值。
Ceq = …    % 计算x处的非线性等式约束 的函数值。
lambda是Lagrange乘子,它体现哪一个约束有效。
output输出优化信息;
grad表示目标函数在x处的梯度;
hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。
例5-6   求下面问题在初始点(0,1)处的最优解
min    x1^2+x2^2-x1*x2-2*x1-5*x2
sub.to      -(x1-1)^2+x2>=0
            2*x1-3*x2+6>=0

解:约束条件的标准形式为
sub.to    (x1-1)^2-x2<=0
          -2*x1+3*x2-6<=0

先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件:
function   [c, ceq]=mycon (x)
c=(x(1)-1)^2-x(2);
ceq=[ ];       %无等式约束
然后,在命令窗口键入如下命令或建立M文件:
>>fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)';      %目标函数
>>x0=[0 1];
>>A=[-2 3];    %线性不等式约束
>>b=6;
>>Aeq=[ ];     %无线性等式约束
>>beq=[ ];
>>lb=[ ];        %x没有下、上界
>>ub=[ ];
>>[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]
=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)
则结果为
x =
      3      4
fval =
    -13
exitflag =       %解收敛
      1
output =
        iterations: 2
         funcCount: 9
          stepsize: 1
         algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'
     firstorderopt: [ ]
      cgiterations: [ ]
lambda =
          lower: [2x1 double]    %x下界有效情况,通过lambda.lower可查看。
          upper: [2x1 double]    %x上界有效情况,为0表示约束无效。
          eqlin: [0x1 double]     %线性等式约束有效情况,不为0表示约束有效。
       eqnonlin: [0x1 double]     %非线性等式约束有效情况。
        ineqlin: 2.5081e-008     %线性不等式约束有效情况。
     ineqnonlin: 6.1938e-008     %非线性不等式约束有效情况。
grad =       %目标函数在最小值点的梯度
   1.0e-006 *
    -0.1776
          0
hessian =     %目标函数在最小值点的Hessian值
     1.0000    -0.0000
    -0.0000     1.0000
例5-7   求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。
Min    f(x)=-x1*x2*x3
Sub.to    0<=x1+2*x2+2*x3<=72
解:约束条件的标准形式为
sub.to       -1*x1-2*x2-2*x3<=0
             x1+2*x2+2*x3<=72

>>fun= '-x(1)*x(2)*x(3)';
>>x0=[10,10,10];
>>A=[-1 -2 -2;1 2 2];
>>b=[0;72];
>> [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)
结果为:
x =
    24.0000    12.0000    12.0000
fval =
        -3456

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