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1.有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为 min f(x) sub.to x1<x<x2 在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。 函数 fminbnd 格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) %返回自变量x在区间 上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options为指定优化参数选项 [x,fval] = fminbnd(…) % fval为目标函数的最小值 [x,fval,exitflag] = fminbnd(…) %xitflag为终止迭代的条件 [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…) % output为优化信息 说明 若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。 例5-3 在[0，5]上求下面函数的最小值 f(x)=(x-3)^2-1 解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为： function f = myfun(x) f = (x-3).^2- 1; 保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令： >> x=fminbnd(@myfun,0,5) 则结果显示为： x = 3 2.无约束多元函数最小值 多元函数最小值的标准形式为 min f(x) 其中：x为向量，如 在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。 命令 利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值 函数 fminsearch 格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。 x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset [x,fval] = fminsearch(…) %最优点的函数值 [x,fval,exitflag] = fminsearch(…) % exitflag与单变量情形一致 [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…) %output与单变量情形一致 注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。 命令 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值 函数 fminunc 格式 x = fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0的最小函数值点 x = fminunc(fun,x0,options) % options为指定优化参数 [x,fval] = fminunc(…) %fval最优点x处的函数值 [x,fval,exitflag] = fminunc(…) % exitflag为终止迭代的条件，与上同。 [x,fval,exitflag,output] = fminunc(…) %output为输出优化信息 [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(…) % grad为函数在解x处的梯度值 [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(…) %目标函数在解x处的海赛（Hessian）值 注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。 例5-5 求 f(x)=3*x1^2+2*x1*x2+x2^2 的最小值。 >> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2'; >> x0=[1 1]; >> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0) 结果为： x = 1.0e-008 * -0.7591 0.2665 fval = 1.3953e-016 exitflag = 1 output = iterations: 3 funcCount: 16 stepsize: 1.2353 firstorderopt: 1.6772e-007 algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search' grad = 1.0e-006 * -0.1677 0.0114 hessian = 6.0000 2.0000 2.0000 2.0000 或用下面方法： >> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2') fun = Inline function: fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2 >> x0=[1 1]； >> x=fminunc(fun,x0) x = 1.0e-008 * -0.7591 0.2665 3.有约束的多元函数最小值 非线性有约束的多元函数的标准形式为： min f(x) sub.to C(x)<=0 Ceq(x)=0 A*x<=b Aeq*x=beq lb<=x<=ub 其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。 在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。 函数 fmincon 格式 x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,fval] = fmincon(…) [x,fval,exitflag] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…) 参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义； x0为初始值； A、b满足线性不等式约束 ，若没有不等式约束，则取A=[ ]，b=[ ]； Aeq、beq满足等式约束 ，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]； lb、ub满足 ，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]； nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束 和等式约束 分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x) C = … % 计算x处的非线性不等约束 的函数值。 Ceq = … % 计算x处的非线性等式约束 的函数值。 lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。 output输出优化信息； grad表示目标函数在x处的梯度； hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。 例5-6 求下面问题在初始点（0，1）处的最优解 min x1^2+x2^2-x1*x2-2*x1-5*x2 sub.to -(x1-1)^2+x2>=0 2*x1-3*x2+6>=0 解：约束条件的标准形式为 sub.to (x1-1)^2-x2<=0 -2*x1+3*x2-6<=0 先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件： function [c, ceq]=mycon (x) c=(x(1)-1)^2-x(2); ceq=[ ]; %无等式约束 然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件： >>fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; %目标函数 >>x0=[0 1]; >>A=[-2 3]; %线性不等式约束 >>b=6; >>Aeq=[ ]; %无线性等式约束 >>beq=[ ]; >>lb=[ ]; %x没有下、上界 >>ub=[ ]; >>[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] =fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon) 则结果为 x = 3 4 fval = -13 exitflag = %解收敛 1 output = iterations: 2 funcCount: 9 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [ ] cgiterations: [ ] lambda = lower: [2x1 double] %x下界有效情况，通过lambda.lower可查看。 upper: [2x1 double] %x上界有效情况，为0表示约束无效。 eqlin: [0x1 double] %线性等式约束有效情况，不为0表示约束有效。 eqnonlin: [0x1 double] %非线性等式约束有效情况。 ineqlin: 2.5081e-008 %线性不等式约束有效情况。 ineqnonlin: 6.1938e-008 %非线性不等式约束有效情况。 grad = %目标函数在最小值点的梯度 1.0e-006 * -0.1776 0 hessian = %目标函数在最小值点的Hessian值 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 例5-7 求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。 Min f(x)=-x1*x2*x3 Sub.to 0<=x1+2*x2+2*x3<=72 解：约束条件的标准形式为 sub.to -1*x1-2*x2-2*x3<=0 x1+2*x2+2*x3<=72 >>fun= '-x(1)*x(2)*x(3)'; >>x0=[10,10,10]; >>A=[-1 -2 -2;1 2 2]; >>b=[0;72]; >> [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b) 结果为： x = 24.0000 12.0000 12.0000 fval = -3456 |