多校第一场 1006 hdu 5293 Tree chain problem(离线LCA+时间戳+树形dp)

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题目大意：

给出一棵树，给出树上的一些链，每个链有一个权，问在链之间不相交的情况下，能够得到最大的权值之和。

题目分析：

首先我们要做一个预处理，利用离线的Lca求出每条链的两个端点的最近公共祖先，同时利用时间戳标记我们到达某个点的时间，和扫描完整棵子树，回到的这个点的时间。预处理做完之后我们进行动态规划。（在做动态的规划的过程中说明预处理的意义）

我们定义两个数组：sum[MAX]和d[MAX]

sum[MAX]表示当前点不被子树中的任何一条链经过的最优解，且当前选中的链只在子树中

d[MAX]表示当前点最优解，在当前选中的链只在子树中的情况下

那么从根开始，那么有两种情况，选择根或者根本用不到根，如果不用根，因为他的每个儿子所在的子树的d[i]中的链都只在当前子树中，所以sum[u] = sigma(d[k]),k是u的儿子

如果选择当前的点，那么当前点所在的链一定会选择一个，那么利用预处理出的公共祖先，我们可以将i点作为公共祖先的链加入到一个集合I中，那么我们枚举这些链，然后对于每条链，我们要去掉之前选择的矛盾的链，那么首先我们加上sun[u]，得到不去掉其他链的结果，那么对于当前链上的一个节点，它的d[i]一定是选择i为根的子树当中的链，所以就减去d[i]，然后加上sum[i]，也就是将当前的情况修正为不选则i的最优解，最后再加上要添加的链的权值，所以我们就得到

dp[u] = max ( sum[u] ,  sigma ( sum[k](k在链上 )-dp[k](k在链上) )

对于这个求和操作我们如果直接做的话，很浪费时间

那么我们应该如何做呢？

需要做一个预处理，就用到了之前的时间戳了。

首先对于点u，l[u]到r[u]范围的点都在它的子树当中，那么对于点u,我们如果在l[u]位置加上dp[u] , 在r[u]位置加上-dp[u]，

那么每次我们查询到的到l[u]的前缀和就是从公共祖先到u的这条链上的dp[i]的和。

为什么呢？

因为首先如果点v不在这条链上，且与u同在lca(u)的子树当中，那么如果点v与u在同一条树链上，但是dep[v]>dep[u]，那么因为l[u]是第一次到达u的时间戳，所以不会加上dp[v]的值，那么如果v与u不在同一条链上，那么如果那条链的遍历顺序早于u，那么在扫描到u之前已经回溯到v，所以dp[v]-dp[v]相当于没加，如果遍历顺序大于u，那么再前缀和中v的dp[v]还没有被加，那么得到结论：前缀和就是当前lca(u)到u的dp[i]之和，sum同理

那么这道题就很清楚了

代码如下：

 

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#define MAX 200007

using namespace std;

int n,m,t;

typedef long long LL;

LL d[MAX];
LL sum[MAX];

LL c1[MAX<<1];
LL c2[MAX<<1];

int lowbit ( int x )
{
    return x&-x;
}

void add1 ( int x , LL v )
{
    while ( x <= n )
    {
        c1[x] += v;
        x += lowbit ( x );
    }
}

void add2 ( int x , LL v )
{
    while ( x <= n )
    {
        c2[x] += v;
        x += lowbit ( x );
    }
}

LL sum1 ( int x )
{
    LL res = 0;
    while ( x )
    {
        res += c1[x];
        x -= lowbit ( x );
    }
    return res;
}

LL sum2 ( int x )
{
    LL res = 0;
    while ( x )
    {
        res += c2[x];
        x -= lowbit ( x );
    }
    return res;
}

typedef pair<int,int> PII;

vector<int> e[MAX];
vector<int> chain[MAX];
vector<PII> a[MAX];
vector<LL> w[MAX];
vector<LL> val[MAX];

int fa[MAX];
int times;
bool used[MAX];
int l[MAX];
int r[MAX];

int _find ( int x )
{
    return fa[x] == x ? x: fa[x] = _find ( fa[x]);
}

void LCA ( int u )
{
    fa[u] = u;
    l[u] = ++times;
    used[u] = true;
    for ( int i = 0 ; i < e[u].size() ; i++ )
    {
        int v = e[u][i];
        if ( used[v] ) continue;
        LCA ( v );
        fa[v] = u;
    }
    for ( int i = 0 ; i < chain[u].size() ; i++ )
    {
        int v = chain[u][i];
        if ( !used[v] ) continue;
        int x = _find ( v );
        a[x].push_back ( make_pair ( u , v ));
        w[x].push_back ( val[u][i] );
    }
    r[u] = ++times;
}

void dfs ( int u , int p )
{
    sum[u] = 0;
    d[u] = 0;
    for ( int i = 0 ; i < e[u].size() ; i++ )
    {
        int v = e[u][i];
        if ( v == p ) continue;
        dfs ( v , u );
        sum[u] += d[v];
    }
    for ( int i = 0 ; i < a[u].size() ; i++ )
    {
        int x = a[u][i].first;
        int y = a[u][i].second;
        LL temp = sum1(l[x]) + sum1(l[y]) + sum[u]
                -sum2(l[x]) - sum2(l[y]);
        d[u] = max ( temp + w[u][i] , d[u] );
    }
    d[u] = max ( d[u] , sum[u] );
    add1 ( l[u] , sum[u] );
    add1 ( r[u] , -sum[u] );
    add2 ( l[u] , d[u] );
    add2 ( r[u] , -d[u] );
}

void init ( )
{
    times = 0;
    memset ( c1 , 0 , sizeof ( c1 ) );
    memset ( c2 , 0 , sizeof ( c2 ));
    memset ( used , 0 , sizeof ( used ));
    for ( int i = 0 ; i < MAX ; i++ )
    {
        e[i].clear();
        val[i].clear();
        a[i].clear();
        w[i].clear();
        chain[i].clear();
    }
}

int main ( )
{
    int u,v,x;
    scanf ( "%d" , &t );
    while ( t-- )
    {
        init();
        scanf ( "%d%d" , &n , &m );
        int nn = n-1;
        while ( nn-- )
        {
            scanf ( "%d%d" , &u , &v );
            e[u].push_back ( v );
            e[v].push_back ( u );
        }
        n = n*2;
        while ( m-- )
        {
            scanf ( "%d%d%d" , &u , &v , &x );
            chain[u].push_back ( v );
            chain[v].push_back ( u );
            val[u].push_back ( x );
            val[v].push_back ( x );
        }
        //cout <<"YES" << endl;
        LCA ( 1 );
        dfs ( 1, -1 );
        printf ( "%I64d\n" , d[1] );
    }
}