负数的取模运算

我们知道，在不同的语言中，对负数执行取模运算，结果有可能会是不同的。例如，(-11)%5在python中计算的结果是4，而在C(C99)中计算的结果则是-1。

truncate除法 && floor除法
　在大多数编程语言中，如果整数a不是整数b的整数倍数的话，那么a、b做除法产生的实际结果的小数部分将会被截除，这个过程称为截尾(truncation)。如果除法的结果是正数的话，那么一般的编程语言都会把结果趋零截尾，也就是说，直接把商的小数部分去除。但是如果除法的结果是负数的话，不同的语言通常采用了两种不同的截尾方法:一种是趋零截尾(truncate toward zero)，另一种是趋负无穷截尾(truncate toward negative infinity);相应的，两种除法分别被称为truncate除法和floor除法。
　事实上，可以认为不管除法的结果是正是负，truncate除法都是趋零结尾;而floor除法都是趋负无穷结尾。

取模运算
　取模运算实际上是计算两数相除以后的余数。假设q是a、b相除产生的商(quotient)，r是相应的余数(remainder)，那么在几乎所有的计算系统中，都满足a=b*q+r，其中|r|<|a|。因此r有两个选择，一个为正，一个为负;相应的，q也有两个选择。如果a、b都是正数的话，那么一般的编程语言中，r为正数;或者如果a、b都是负数的话，一般r为负数。但是如果a、b一正一负的话，不同的语言则会根据除法的不同结果而使得r的结果也不同，并且一般r的计算方法都会满足r=a-(a/b)*b。

常见语言
　(1)C/Java语言
　　C/Java语言除法采用的是趋零截尾(事实上，C89对于除数或被除数之一为负数情况的结果是未定义的;C99才正式确定了趋零截尾)，即truncate除法。它们的取模运算符是%，并且此运算符只接受整型操作数。一个规律是，取模运算的结果的符号与第一个操作数的符号相同(或为0)。因此(-11)%5=-11-[(-11)/5]*5=-11-(-2)*5=-1。

　(2)C++语言
　　C++语言的截尾方式取决于特定的机器。如果两个操作数均为正，那么取模运算的结果也为正数(或为0);如果两个操作数均为负数，那么取模运算的结果为负数(或为0);如果只有一个操作数为负数，那么取模运算的结果是取决于特定实现的。

　(3)Python语言
　　Python语言除法采用的是趋负无穷截尾，即floor除法。它的取模运算符也是%，并且此运算符可以接受浮点操作数。一个类似的规律是，取模运算的结果的符号与第二个操作数的符号相同。因此(-11)%5=-11-[(-11)/5]*5=-11-(-3)*5=4。
　　这里需要注意的是，Python 3.x中"/"运算符的意义发生了变化，"/"产生的结果将不会再进行截尾;相应的"//"运算符的结果才会进行截尾。

　(4)Common Lisp
　　Common Lisp的特殊操作符(special operator)"/"的结果是分数，因此不会存在截尾的问题。但是Common Lisp提供了TRUNCATE函数和FLOOR函数分别对应上述的两种除法。相应的，Common Lisp的REM函数类似于C/Java语言中的取模运算;而MOD函数类似于Python语言中的取模运算。

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