Scalaz（31）－ Free ：自由数据结构－算式和算法的关注分离

   我们可以通过自由数据结构（Free Structure）实现对程序的算式和算法分离关注（separation of concern）。算式（Abstract Syntax Tree, AST）即运算表达式，是对程序功能的描述。算法则是程序的具体运算方式（Interpreter）,它赋予了算式意义。下面我们先用一个例子简单解释何为算式、算法：

用一个简单的表达式 1+2+3，这个表达式同时包含了算式和算法：运算表达式是 a Op b Op c, 算法是：Int加法，a,b,c为Int, oP为Int+。那么我们可不可把它分解成算式和算法呢？我们可以先把算式推导出来：Op(a,Op(b,c))。我们可以在算法里对Op即a,b,c进行多种定义，即通过这些定义我们能赋予算式不同的意义。这个例子可以形象的描述算式、算法关注分离的全过程：抽象描述我们要运算的程序，定义具体运算方式可以分开进行。

实际上 1+2+3可以说是一种Monoid操作。我们看看是否能从中推导出Free Monoid，一个Monoid自由数据结构用来实现Monoidal操作的算式、算法分离关注。针对任意基本类型A的Monoid定义如下：

1、一个二元函数 append: (A,A)=>A

2、一个A类型的初始值（零值）zero

Monoid必须遵循以下定律：

1、append函数的关联性associativity: 对任意A类型的x,y,z - append(x,append(y,z)) === append(append(x,y),z)

2、zero的同一律identity law: 对任意类型的x - append(zero,x) === append(x,zero)

根据以上定律，上面的表达式 1+2+3 === 1+(2+(3+0))。它的算式可以是这样：append(x,append(y,append(z,zero)))。那么我们应该可以得到这样的Free Monoid自由数据结构：

sealed trait FreeMonoid[+A]
final case object Zero extends FreeMonoid[Nothing]
final case class Append[A](l: A, r: FreeMonoid[A]) extends FreeMonoid[A]

1::2::3::Nil >>> List(1,2,3)，如果A是个Monoid那么List[A]也是个Monoid，List[A]是个Free Monoid自由数据结构，我们看下面的示范：

def listOp[A](l: List[A]): FreeMonoid[A] = l match {
	case Nil => Zero
	case h :: t => Append(h,listOp(t))
}                                                 //> listOp: [A](l: List[A])Exercises.freestruct.FreeMonoid[A]
listOp(List(1,2,3))                               //> res0: Exercises.freestruct.FreeMonoid[Int] = Append(1,Append(2,Append(3,Zero
                                                  //| )))

List是一个Free Monoid, 它的 Nil === Zero,  a ++ b === Append(a,b)。

同样，我们可以从Monad的特性操作函数来推导Free Monad自由数据结构。我们可以用以下操作函数来构建一个Monad M[_]：

1、point: A => M[A]

2、join: M[M[A]] => M[A]

3、map: (M[A], A => B) => M[B]

（point+flatMap组合同样能构建Monad）

Free Monad是基于类型构建器Functor F[_]的Free Monoid, 所以Free Monad的定义应该是这样的：

sealed trait Free[F[_],A]

我们可以直接把point转换成case class:

final case class Return[F[_],A](a: A) extends Free[F,A] 

join的输入类型是F[F[A]]，我们需要把Free[F,A]放在内里：

final case class Suspend[F[_],A](ffa: F[Free[F,A]) extends Free[F,A]

我们现在可以猜测Free Monad的自由数据结构定义如下：

sealed trait Free[F[_], A]
final case class Return[F[_],A](a: A) extends Free[F,A]
final case class Suspend[F[_],A](ffa: F[Free[F,A]]) extends Free[F,A]

我们只需证明用以上结构可以实现Monad的所有特性操作函数，那么这个Free就是一个用Functor F产生Monad的Monad构造器，一个最简单结构的Monad构造器，即Free Monad：

import scalaz.Functor
final case class Return[F[_],A](a: A) extends Free[F,A]
final case class Suspend[F[_],A](ffa: F[Free[F,A]]) extends Free[F,A]
sealed trait Free[F[_],A] {
  def point(a: A) = Return[F,A](a)
  def flatMap[B](f: A => Free[F,B])(implicit F: Functor[F]): Free[F,B] =
    this match {
      case Return(a) => f(a)
      case Suspend(ffa) => Suspend[F,B](F.map(ffa)(fa => fa flatMap f))
    }
  def map[B](f: A => B): Free[F,B] = flatMap(a => Return[F,B](f(a)))
  def join(ffa: F[Free[F,A]]): Free[F,A] = Suspend[F,A](ffa)

}

这个Free自由数据结构足够支持我们实现point,flatMap,map,join这几个Monad特性操作函数，所以Free是个Free Monad。

如果Free是个Free Monad，我们可以把Free[F,A]里的F[A]当做Program[Commands]。即我们可以用命令集Commands来独立描述程序Program。最终的程序Program是不会产生副作用的，所以容许最大限度的函数组合（function composition）。对Program的具体运算方法则可以独立分开实现。我们将在下次讨论中着重介绍Free Monad的实际应用方式：AST和Interpreter的实现过程。