快速幂取模算法模板

快速模取幂算法~

2009-07-07 19:37

快速模取幂     数论计算中经常出现的一种运算就是求一个数的幂ab对另外一个数n个模的运算，即计算: ab mod n (a,b,n是正整数)     由于计算机只能表示有限位的整数，所以编程时模取幂的运算要注意值的大小范围，当ab的值超过整数范围时,mod运算便无法进行。     如何解决这个问题，我们引出一个能计算ab mod n的值的有用算法——反复平方法，首先我们必须明确： d=ab mod n=(…((((a mod n)*a)mod n)*a)mod n…*a)mod n    {共b个a}     由此可以引出一个迭代式          d:=a;          for i:=2 to b do             d:=d mod n*a;          d:=d mod n;     时间复杂度为O（b），当b很大时，效率很低。我们可以将b转换为二进制数<bk,bk-1,...,b1,b0>,然后从最低位b0开始，由右至左逐位扫描，每次迭代时，用到下面两个恒等式： a2c mod n =(ac)2 mod n      bi=0             a2c+1 mod n =a*(ac)2 mod n   bi=1 (0<=c<=b)     其中c为b的二进制数的后缀（bi-1...b0）对应的十进制数，当c成倍增加时，算法保持d=ac mod n不变，直至c=b。      程序实现可如下： long long result(long long a,long long b,long long m) {     long long d,t;     d=1;     t=a;     while (b>0)     {         if (b%2==1)             d=(d*t)%m;         b/=2;         t=(t*t)%m;     }     return d; }