Scalaz（10）－ Monad：就是一种函数式编程模式－a design pattern

    Monad typeclass不是一种类型，而是一种程序设计模式（design pattern），是泛函编程中最重要的编程概念，因而很多行内人把FP又称为Monadic Programming。这其中透露的Monad重要性则不言而喻。Scalaz是通过Monad typeclass为数据运算的程序提供了一套规范的编程方式，如常见的for-comprehension。而不同类型的Monad实例则会支持不同的程序运算行为，如：Option Monad在运算中如果遇到None值则会中途退出；State Monad会确保状态值会伴随着程序运行流程直到终结；List Monad运算可能会产生多个结果等等。Scalaz提供了很多不同种类的Monad如：StateMonad, IOMonad, ReaderMonad, WriterMonad，MonadTransformer等等，这从另一个角度也重申了Monad概念在泛函编程里的重要性。听起来以上这些描述好像有点摸不着头脑，可能应该把它们放在本篇最终总结，不过我还是想让大家有个大的概念。对下面的讨论细节的理解能有所帮助。我们还是从Monad trait开始介绍吧：

trait Monad[F[_]] extends Applicative[F] with Bind[F] { self =>
  //// scalaz/Monad.scala

  override def map[A,B](fa: F[A])(f: A => B) = bind(fa)(a => point(f(a)))
...
trait Applicative[F[_]] extends Apply[F] { self =>
  //// scalaz/Applicative.scala
  def point[A](a: => A): F[A]
...
trait Apply[F[_]] extends Functor[F] { self =>
  //// scalaz/Apply.scala
  def ap[A,B](fa: => F[A])(f: => F[A => B]): F[B]
...
trait Bind[F[_]] extends Apply[F] { self =>
  //// scalaz/Bind.scala

  /** Equivalent to `join(map(fa)(f))`. */
  def bind[A, B](fa: F[A])(f: A => F[B]): F[B]

  override def ap[A, B](fa: => F[A])(f: => F[A => B]): F[B] = {
    lazy val fa0 = fa
    bind(f)(map(fa0))
  }
...

上面这些类型trait的继承关系是这样的：Monad继承了Applicative和Bind，Applicative继承了Apply, Apply继承了Functor, Bind也继承了Apply。所以Monad同时又是Applicative和Functor，因为Monad实现了map和ap函数。一个Monad实例可以调用所有Applicative和Functor提供的组件函数。任何实例只需要实现抽象函数point和bind就可以成为Monad实例，然后就可以使用Monad所有的组件函数了。

Monad所提供的主要注入方法（injected method）是在BindOps和MonadOps里。在BindOps里主要提供了flatMap: scalaz/syntax/BindSyntax.scala

final class BindOps[F[_],A] private[syntax](val self: F[A])(implicit val F: Bind[F]) extends Ops[F[A]] {
  ////
  import Liskov.<~<, Leibniz.===

  def flatMap[B](f: A => F[B]) = F.bind(self)(f)

  def >>=[B](f: A => F[B]) = F.bind(self)(f)

  def ∗[B](f: A => F[B]) = F.bind(self)(f)
...

主要是这个flatMap函数，在scalaz里用>>=来表示。这是一个大家都起码耳熟的函数：好像flatMap就代表了Monad。在MonadOps里提供的注入方法如下：scalaz/Syntax/MonadSyntax.scala

final class MonadOps[F[_],A] private[syntax](val self: F[A])(implicit val F: Monad[F]) extends Ops[F[A]] {
  ////

  def liftM[G[_[_], _]](implicit G: MonadTrans[G]): G[F, A] = G.liftM(self)

  def whileM[G[_]](p: F[Boolean])(implicit G: MonadPlus[G]): F[G[A]] = F.whileM(p, self)

  def whileM_(p: F[Boolean]): F[Unit] = F.whileM_(p, self)

  def untilM[G[_]](p: => F[Boolean])(implicit G: MonadPlus[G]): F[G[A]] = F.untilM(self, p)

  def untilM_(p: => F[Boolean]): F[Unit] = F.untilM_(self, p)

  def iterateWhile(p: A => Boolean): F[A] = F.iterateWhile(self)(p)

  def iterateUntil(p: A => Boolean): F[A] = F.iterateUntil(self)(p)

  ////
}

看起来这些注入方法都是一些编程语言里的流程控制语法（control flow syntax）。这是不是暗示着Monad最终会实现某种编程语言？我们把这些函数的使用方法放在后面的一些讨论去。我们先来分析一下flatMap函数，因为这是个Monad代表函数。下面是Functor,Applicative和Monad施用函数格式比较：

// Functor    :  map[A,B]    (F[A])(f:   A => B):  F[B]
// Applicative:  ap[A,B]     (F[A])(f: F[A => B]): F[B] 
// Monad      :  flatMap[A,B](F[A])(f: A => F[B]): F[B]

以上三种函数款式基本上是一致的。大家都说这就是三种FP的函数施用方式：在一个容器内进行函数的运算后把结果还留在容器内、得到的效果是这样的：F[A] => F[B]。只是它们分别用不同的方式提供这个施用的函数。Functor的map提供了普通函数，Applicative通过容器提供了施用函数ap而Monad则是通过直接函数施用方式来实现F[A] => F[B]: 直接对输入A进行函数施用并产生一个F[B]结果。Monad的这种方式应该不是严格意义上的在容器内进行函数施用。从另一个角度分析，Monad可以被视作某种算法(computation)。Monad F[A]代表了对一个A类型数据的算法(computation)。如果这样说那么Monad就有了全新的解释：Monad就是一种可以对某种类型的数据值进行连续计算的算法(computation)：如果我们把flatMap串联起来的话就会是这样的：

//   fa.flatMap(a => fb.flatMap(b => fc.flatMap(c => fd.map(...))))

在这里fa,fb,fc都是F[T]这样的算法。可以看出当我们把flatMap串接起来后就形成了一个串型（sequencial）流程（workflow）的F[]算法。为了更清楚的了解串接flatMap的意义，我们用同等的for-comprehension来示范：

//   for {
//      a <- (fa: F[A])
//      b <- (fb: F[A])
//      c <- (fc: F[A])
//   } yield { ... }

这样表达会更加清晰了：我们先运算fa，得到结果a后接着运算fb,得出结果b后再运算fc，得出结果c ... 这像是一段行令程序（imperative program）。我们再用个形象点的例子来示范说明：

class Foo { def bar: Option[Bar] }
class Bar { def baz: Option[Baz] }
class Bar { def baz: Option[Baz] }

def compute(maybeFoo: Option[Foo]): Option[Int] =
 maybeFoo.flatMap { foo =>
  foo.bar.flatMap { bar =>
    bar.baz.map { baz =>
      baz.compute
    }
  }
 }
def compute2(maybeFoo: Option[Foo]): Option[Int] =
  for {
  	foo <- maybeFoo
  	bar <- foo.bar
  	baz <- bar.baz
  }  yield baz.compute

可以看出，每一个算法都依赖前面算法得出的结果。从这个例子我们可以得出Monad的串型运算（sequencial computation）特性。确切来说，flatMap并不适合并行运算，所以我们需要Applicative。这是因为Applicative是在既有的容器中运算，而flatMap则会重新创建新的容器（在Monad的世界里容器即为算法（computation）。但是因为我们讲过Monad就是Applicative，所以Monad也可以实现并行运算。Applicative 的 ap 函数可以用 flatMap实现：

// ap[A,B](ma: F[A])(mf: F[A => B]): F[B] = mf.flatMap(f => ma.flatMap(a => point(f(a)))  

也可以用flatMap来实现Functor的map函数：

// map[A,B](fa: F[A])(f: A => B): F[B] = fa.flatMap(a => point(f(a)))  

从上面的例子好像可以领悟一些关于FP即Monadic Programming的说法。形象的来讲：这个所谓的算法Monad F[]就好像是在F[]这么个壳子里进行传统编程：还记着的话，FP编程既是纯函数（pure function）对F[T]里的T值进行运算，没有中间变量（temp variable）,没有副作用（no side-effect）。但现在有了Monad，我们就可以使用传统的行令编程（imperative programming）了。再形象一点来说上面的for loop就像F[]壳子，在for loop内可以进行申明变量，更新状态等OOP式行令编程。但这些变化（mutability）不会漏出for loop之外。不过，本篇所述Monad编程的单一局限性还是很明显的：因为在for loop 内部的操作函数都必须返回同一种类型的Monad实例如：Option[], List[]，SomeType[]等等。而且程序运算行为只会受一种类型的特性所控制。如上面所叙，Monad实例的类型控制Monadic程序的运算行为。每一种Monad实例的程序可以有不同的运算方式。如果需要多种类型行为的Monad程序，就需要使用Monad Transformer typeclass了。这个在将来的讨论中自会提及，现在好像说的过头了。我们还是回到Monad的基本操作。

Option是scala标准库的一个类型。它已经是个Monad，所以可以使用flatMap：

2.some flatMap {x => (x + 3).some }               //> res0: Option[Int] = Some(5)
2.some >>= { x => (x + 3).some }                  //> res1: Option[Int] = Some(5)
(none: Option[Int]) >>= {x => (x + 3).some }      //> res2: Option[Int] = None

我们可以用Monad[T] point来把一个普通值A升格到T[A]：

Monad[Option].point(2)                            //> res3: Option[Int] = Some(2)
Monad[Option].point(2) >>= {x => Monad[Option].point(x + 3)}
                                                  //> res4: Option[Int] = Some(5)
(None: Option[Int]) >>= {x => Monad[Option].point(x + 3)}
                                                  //> res5: Option[Int] = None

在上面的例子里我们不断提及Option Monad是有原因的，因为Option类型的Monad典型实例，在控制运算流程时最有特点：可以在中途退出，在遇到None值时可以立即终止运算。

我们用一个比较现实点的例子来示范：我正尝试用自己的方式来练习举重 - 我最多能举起50KG、每个杠铃片重2.5公斤、杠铃两端不必平衡，但一边不得超过另一边多于3个杠铃片（多3个还没问题）。试着用一个自定义类型来模拟举重：

type Discs = Int  //杠铃片数量
case class Barbell(left: Discs, right: Discs) {
	def loadLeft(n: Discs): Barbell = copy(left = left + n)
	def loadRight(n: Discs): Barbell = copy(right = right + n)
}
Barbell(0,0).loadLeft(1)                          //> res8: Exercises.monad.Barbell = Barbell(1,0)
Barbell(1,0).loadRight(1)                         //> res9: Exercises.monad.Barbell = Barbell(1,1)
Barbell(2,1).loadLeft(-1)                         //> res10: Exercises.monad.Barbell = Barbell(1,1)

现在这个自定义类型Barbell是可以跟踪当前杠铃左右重量状态的。现在我把往杠铃上增加重量片的过程串联起来：

Barbell(0,0).loadLeft(1).loadRight(2).loadRight(100).loadLeft(2).loadRight(-99)
                                                  //> res11: Exercises.monad.Barbell = Barbell(3,3)

可以看到这个过程中有些环节已经超出了我的能力，但杠铃最终状态好像还是合理的。我们需要在重量配置不合理的时候就立即终止。现在我们可以用Option来实现这项功能：

type Discs = Int  //杠铃片数量
case class Barbell(left: Discs, right: Discs) {
  def loadLeft(n: Discs): Option[Barbell] = copy(left = left + n) match {
    case Barbell(left,right) => if ( (left+right <= 20) && math.abs(left-right) <=3 ) Some(Barbell(left,right)) else None
    case _ => None
  }
  def loadRight(n: Discs): Option[Barbell] = copy(right = right + n) match {
    case Barbell(left,right) => if ( (left+right <= 20) && math.abs(left-right) <=3 ) Some(Barbell(left,right)) else None
    case _ => None
  }
}
Barbell(0,0).loadLeft(1)                          //> res8: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(1,0))
Barbell(1,0).loadRight(1)                         //> res9: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(1,1))
Barbell(2,1).loadLeft(-1)                         //> res10: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(1,1))
Barbell(0,0).loadLeft(4)                          //> res11: Option[Exercises.monad.Barbell] = None
Barbell(15,1).loadRight(15)                       //> res12: Option[Exercises.monad.Barbell] = None

超出重量平衡的情况返回了None。现在返回值是个Option，而Option是个Monad，所以我们可以用flatMap把每个环节串联起来：

Barbell(0,0).loadLeft(3) >>= {_.loadRight(3)}     //> res13: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(3,3))
Barbell(0,0).loadLeft(3) >>= {_.loadRight(3) >>= {_.loadRight(1)}}
                                                  //> res14: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(3,4))
Barbell(0,0).loadLeft(3) >>= {_.loadRight(3) >>= {_.loadRight(1) >>= {_.loadLeft(4)}}}
                                                  //> res15: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(7,4))
Barbell(0,0).loadLeft(1) >>= {_.loadRight(5) >>= {_.loadLeft(2)}}
                                                  //> res16: Option[Exercises.monad.Barbell] = None
Monad[Option].point(Barbell(0,0)) >>= {_.loadLeft(3) >>= {_.loadRight(6)}}
                                                  //> res17: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(3,6))

我们的最终目的是用for-comprehension来表述，会更加清晰：

def addWeight: Option[Barbell] = for {
	b0 <- Monad[Option].point(Barbell(0,0))
	b1 <- b0.loadLeft(3)
	b2 <- b1.loadRight(3)
} yield b2                                        //> addWeight: => Option[Exercises.monad.Barbell]
addWeight                                         //> res18: Option[Exercises.monad.Barbell] = Some(Barbell(3,3))

def addWeight1: Option[Barbell] = for {
	b0 <- Monad[Option].point(Barbell(0,0))
	b1 <- b0.loadLeft(4)
	b2 <- b1.loadRight(3)
} yield b2                                        //> addWeight1: => Option[Exercises.monad.Barbell]
addWeight1                                        //> res19: Option[Exercises.monad.Barbell] = None

从以上的例子可以得出：实现了一个数据类型的Monad实例后就可以获取以这个类型控制运算行为的一种简单的编程语言，这种编程语言可以在for loop内部实现传统的行令编程风格。

在本篇讨论中我们介绍了Monad实际上是一种编程模式，并且示范了简单的for loop内部流程运算。在下面的一系列讨论中我们将会了解更多类型的Monad，以及Monad如何能成为功能完善的编程语言。