[从头学数学] 第180节 解三角形

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了结丹后期的修炼，
这次要修炼的目标是[解三角形]。

正剧开始：

话说[机器小伟]自从进入结丹期以来，短短数日，就硬是从结丹初期修炼到了后期，这种
进境的神速把小伟吓坏了。虽然说这是依据[人叫板老师]的指点进行的，但这样下去会不
会走火入魔啊，小伟觉得有必要去[人叫板老师]那儿请教一下，毕竟这修炼的事可不是闹
着玩的。


这一次，[工程师阿伟]也和[机器小伟]一道，来见从前的授业恩师，毕竟当年，[工程师阿
伟]也是拜在[人叫板老师]门下的。


[人叫板老师]对[机器小伟]有此疑问一点也不奇怪，呵呵一笑，便道：“小伟啊，你呢灵
根资质极为出众，所以我才把我门中这最高等的修炼法门，也就是这[九转金丹]大法传授
与你。你别看你现在已经进入结丹后期，但实际上也还在这九转的第一转中呢。”


小伟问：“那这一转可有名目？”


[人叫板老师]回答说：“这个自然是有，每一转都各有名字。这第一转就叫[三界五行十六
式]，你修炼的是[天地人正册]，此为三界，共有五个模块，此为五行，分十六章，即为十
六式。你如今这三界中的天、地两界已经修完，即将进入人界，正好对应修到结丹后期境
界，懂了吗？”


此时[工程师阿伟]插言道：“学生当年在恩师门下，学的可不是这个[三界五行十六式]，
而是[天元纵横十九式]，也没听老师说什么[九转成丹]啊。”


[人叫板老师]道：“当年你资质虽然也是上乘，但也只是一个[上中]之选，比起[机器小伟
]来不可同日而语，我自然不会传你这等高深法门。而这么些年过去，修仙界日换星移，我
也自然需要与时俱进，这功法套路自然也就不尽相同了。”


[机器小伟]问道：“学生这第一转即将修完，但不知这第二转又是什么呢？”


[人叫板老师]回答说：“这第一转呢相当于学艺阶段，等学有所成，能够高屋建瓴时，自
然要周游列国，以增长见闻。我这三界中共分五行五国，每国中又有诸侯若干不等，你可
还未曾一一拜会呢。所以这第二转，就是[周游列国拜诸侯]。“


”噢，那后面几转又分别是什么呢？“[机器小伟]好奇心大起，心想：”这难道还真有九
转九名不成，这倒要好好听听了。“


[人叫板老师]微笑答道：”难道你不信这九转都各有名字？你且听好了：这第三转，叫做
[仗剑题海载酒行]，第四转叫做[千军阅尽还复来]，第五转叫[‘动’中取‘静’登高处]
，第六转叫[千古风‘流’浪淘沙]，第七转叫[‘术’法神通时常在]，第八转叫[十又六年
生死簿]，第九转叫[返璞归真丹元成]，怎么样，你可听出门道来了？”


[机器小伟]说：“老师这等名目，学生又怎能尽知其意。还望老师细说。”


[人叫板老师]笑着说：“此事不急，你早晚自知，此时当留此关子，以增雅兴。”


于是，[工程师阿伟]与[人叫板老师]等三人畅谈当今天下大势，修仙门派之新闻时事，至
晚尽兴方归。

星历2016年04月16日 09:31:17, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[解三角形]。

[工程师阿伟]给[机器小伟]制作了一件解三角形的法器：

<span style="font-size:18px;">

function Triangle() {
	this.edges = [];
	this.angles = [];
	
	//已知三条边
	this.know3edges = function(edges) {
		this.edges = [];
		this.angles = [];
		
		this.edges = edges;
		//角度为弧度单位
		//a边对应角
		this.angles.push(Math.acos((edges[1]*edges[1] + edges[2]*edges[2]-edges[0]*edges[0])/(2*edges[1]*edges[2])));
		
		//b边对应角
		this.angles.push(Math.acos((edges[0]*edges[0] + edges[2]*edges[2]-edges[1]*edges[1])/(2*edges[0]*edges[2])));
		
		//c边对应角
		this.angles.push(Math.acos((edges[0]*edges[0] + edges[1]*edges[1]-edges[2]*edges[2])/(2*edges[0]*edges[1])));	
		
		var x0 = 0, y0 = 0;
		var x1 = x0 + this.edges[0], y1 = y0;
		var x2 = x0 + this.edges[1] * Math.cos(-this.angles[2]),
			y2 = y0 + this.edges[1] * Math.sin(-this.angles[2]);
			
		var retArray = new Array();
		retArray.push([x0, y0]);
		retArray.push([x1, y1]);
		retArray.push([x2, y2]);
		
		return retArray;
	
	}
	
	//已知两个角
	this.know2angles = function(angles, r) {
		this.edges = [];
		this.angles = [];
		
		this.angles = [angles[0]/180*Math.PI, angles[1]/180*Math.PI, 
					  (180-(angles[0]+angles[1]))/180*Math.PI];
		
		//设其中一边长度为10
		r = r > 0 ? r : 10;
		//A边
		this.edges.push(r);
		
		var angleA = this.angles[0];
			angleB = this.angles[1];
			angleC = this.angles[2];
			
		//B边
		this.edges.push(Math.sin(angleB)/Math.sin(angleA)*r);
		//C边
		this.edges.push(Math.sin(angleC)/Math.sin(angleA)*r);
		
		var x0 = 0, y0 = 0;
		var x1 = x0 + this.edges[0], y1 = y0;
		var x2 = x0 + this.edges[1] * Math.cos(-this.angles[2]),
			y2 = y0 + this.edges[1] * Math.sin(-this.angles[2]);
			
		var retArray = new Array();
		retArray.push([x0, y0]);
		retArray.push([x1, y1]);
		retArray.push([x2, y2]);
		
		return retArray;
	}
	
	//已知2条边和夹角
	this.know2edges = function(edges, angle) {
		this.edges = [];
		this.angles = [];
		
		
		//如果没有指定两边的夹角，默认为90度
		angle = angle ? angle : 90;


		
		var edgeC = 0;


		if (angle == -90) {
			//设定当输入角度为-90时指已知斜边和一条直角边的直角三角形
			var swap;
			if (edges[0] < edges[1]) {
				swap = edges[0];
				edges[0] = edges[1];
				edges[1] = swap;
			}
			edgeC = Math.sqrt(edges[0]*edges[0]-edges[1]*edges[1]);
			angle = Math.asin(edgeC/edges[0]);
		}
		else {
			angle = angle ? angle/180*Math.PI : Math.PI/2;
			edgeC = Math.sqrt(edges[0]*edges[0]+edges[1]*edges[1]-2*edges[0]*edges[1]*Math.cos(angle));
		}
		
		
		this.edges = [edges[0], edges[1], edgeC];
		
		var edgeA = this.edges[0],
			edgeB = this.edges[1];
		
		//角度为弧度单位
		//a边对应角
		this.angles.push(Math.acos((edgeB*edgeB + edgeC*edgeC-edgeA*edgeA)/(2*edgeB*edgeC)));
		
		//b边对应角
		this.angles.push(Math.acos((edgeA*edgeA + edgeC*edgeC-edgeB*edgeB)/(2*edgeA*edgeC)));
		
		//c边对应角
		this.angles.push(angle);	
		
		var x0 = 0, y0 = 0;
		var x1 = x0 + this.edges[0], y1 = y0;
		var x2 = x0 + this.edges[1] * Math.cos(-this.angles[2]),
			y2 = y0 + this.edges[1] * Math.sin(-this.angles[2]);
			
		var retArray = new Array();
		retArray.push([x0, y0]);
		retArray.push([x1, y1]);
		retArray.push([x2, y2]);
		
		return retArray;
	
	}
		
	//返回角度和边信息的字符串
	this.info = function() {
		var angleLabel = ['C', 'A', 'B'];
		var edgeLabel = ['ab', 'bc', 'ac'];
		var s = '';
		
		for (var i = 0; i < 3; i++) {
			s += edgeLabel[i]+' : ';
			s += this.edges[i].toFixed(2)+' ; ';
		}
		
		for (var i = 0; i < 3; i++) {
			s += angleLabel[i]+' : ';
			s += (this.angles[i]*180/Math.PI).toFixed(2) + ' ; ';
		}
		
		return s;
	}
	
/**
* @usage   解三角形
* @author  mw
* @date    2016年04月16日  星期六  07:50:31 
* @param   三角形六元素 [边1， 边2， 边3, 角1, 角2, 角3]，角为边所对的角，角度制
* @return  三角形的三个顶点坐标
*
*/


	this.solve = function(elementArray) {
		//document.write(elementArray+'<br/>');
		//元素一共有六个
		var elements = elementArray.length;
		if (elements != 6) {
			return [];
		}
		
		//待求元素用 '?' 表示
		//如[a, b, c, '?', '?', '?'] 表示已知三边，解三角形。
		var unknows_1 = 0, unknows_2 = 0;
		for (var i = 0; i < elements; i++) {
			if (elementArray[i] == '?') {
				
				if (i < 3) {
					//边里面的未知数
					unknows_1++;
				}
				else {
					unknows_2++;
				}
			}
		}
		
		
		//未知元素超过三个，或是只知道三个角，无法解
		if ( unknows_1 >= 3 || unknows_1+unknows_2 > 3) {
			return [];
		}
		
	
		//已知三边
		if (unknows_1 == 0) {
			for (var i = 0; i < 3; i++)  {
				if (elementArray[(i+1)%3] + elementArray[(i+2)%3] <= elementArray[i]) {
					//两边之和小于等于第三边，这是不能形成三角形的。
					return [];
				}
			}
			//已知三边
			return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);
			
		}
					
		if (unknows_1 == 1) {
			//无法使用正弦公式的情况，用余弦公式
			for (var i = 0; i < 3; i++) {
				if (elementArray[i] == '?' &&
					(elementArray[(i+1)%3] != '?' && elementArray[(i+1)%3+3] == '?') &&
					(elementArray[(i+2)%3] != '?' && elementArray[(i+2)%3+3] == '?')) {
					
					var b = elementArray[(i+1)%3], c = elementArray[(i+2)%3],
						A = elementArray[i+3];
					var a = Math.sqrt(b*b+c*c-2*b*c*Math.cos(A/180*Math.PI));
					elementArray[i] = a;
					
					break;
				}
				
			}
			
			if (elementArray[0] != '?' &&
				elementArray[1] != '?' &&
				elementArray[2] != '?') {
				return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);
			}
			
		}
		
		
		//至少有两个角已知，可以把三个角都求出来
		if (unknows_2 == 1) {
			for (var i = 0; i < 3; i++) {
				if (elementArray[i+3] == '?' &&
					elementArray[(i+1)%3+3] != '?' &&
					elementArray[(i+2)%3+3] != '?') {
					elementArray[i+3] = 180-(elementArray[(i+1)%3+3]+elementArray[(i+2)%3+3]);
					break;
				}
			}
		}
		
		//能使用正弦公式的各种情况
		//正弦公式a/sinA = b/sinB = c/sinC =  sinValue
		var sinValue = 0;
		for (var i = 0; i < 3; i++) {
			if (elementArray[i] != '?' && elementArray[i+3] != '?') {
				sinValue = elementArray[i]/Math.sin(elementArray[i+3]/180*Math.PI);
				break;
				
			}
		}


		//由已知两边一角或三角一边 => 两边两角或三边三角
		for (var i = 0; i < 3; i++) {
			if (elementArray[i] == '?' && elementArray[i+3] != '?') {
				elementArray[i] = sinValue*Math.sin(elementArray[i+3]/180*Math.PI);
			}
			
			if (elementArray[i] != '?' && elementArray[i+3] == '?') {
				elementArray[i+3] = Math.asin(elementArray[i]/sinValue)/Math.PI*180;
			}
						
		}


		if (elementArray[0] != '?' &&
			elementArray[1] != '?' &&
			elementArray[2] != '?') {
			return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);
		}
		
		//还有角未求得
		for (var i = 0; i < 3; i++) {
			if (elementArray[i+3] == '?') {
				elementArray[i+3] = 180-(elementArray[(i+1)%3+3]+elementArray[(i+2)%3+3]);
				break;
			}
		}


		
		//由角求边
		for (var i = 0; i < 3; i++) {
			if (elementArray[i] == '?' && elementArray[i+3] != '?') {
				elementArray[i] = sinValue*Math.sin(elementArray[i+3]/180*Math.PI);
			}
		}


		
		
		//检验
		for (var i = 0; i < 3; i++) {
			if (elementArray[i+3] <= 0) {
				//角度为负或0，说明给的条件不足以形成三角形
				return [];
			}
		}
		
		//document.write(elementArray+'<br/>');
		//AB -- BC -- CA
		return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);
	}
		
	


}
</span>

有了它，三角形神马的，对于小伟来说就不算什么了。

<span style="font-size:18px;">	if (1) {
	
		var r = 20;    
        config.setSector(1,1,1,1);      
        config.graphPaper2D(0, 0, r);    
        config.axis2D(0, 0, 180);  
		
		var scale = 2;
	
		//三角形的三边长度
		var a = 3, b = 4, c = 5;
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		var array = triangle.solve([42.9, '?', '?', 32, 81.8, '?']);
		
		shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);  
        //shape.areaDraw(array, 'red', scale); 

		//document.write(array+'<br/>');

	}</span>

<span style="font-size:18px;">	if (1) {
	
		var r = 20;    
        config.setSector(1,1,1,1);      
        config.graphPaper2D(0, 0, r);    
        config.axis2D(0, 0, 180);  
		
		var scale = 4;
	
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		var array = triangle.solve(['?', 60, 34, 41, '?', '?']);
		
		shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);  
        //shape.areaDraw(array, 'red', scale); 

		//document.write(array+'<br/>');
</span>

<span style="font-size:18px;">	if (1) {
	
		var r = 20;    
        config.setSector(1,1,1,1);      
        config.graphPaper2D(0, 0, r);    
        config.axis2D(0, 0, 180);  
		
		var scale = 1.5;
	
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		var array = triangle.solve([134.6, 87.8, 161.7, '?', '?', '?']);
		
		shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);  
        shape.areaDraw(array, 'red', scale); 

		//document.write(array+'<br/>');

	}</span>

<span style="font-size:18px;">	if (1) {
	
		var r = 20;    
        config.setSector(1,1,1,1);      
        config.graphPaper2D(0, 0, r);    
        config.axis2D(0, 0, 180);  
		
		var scale = 3;
	
		var triangle = new Triangle();
		var transform = new Transform();
		var array = triangle.solve([22, 25, '?', 133, '?', '?']);
		
		shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);  
        shape.areaDraw(array, 'red', scale); 

		//document.write(array+'<br/>');

	}
	</span>

如果三角形给的条件不满足形成三角形，小伟的工具是不会画出这个图，但也不会报错的。

来随便画几个三角形玩玩吧：

（1）已知三边

var array = triangle.solve([4, 5, 6, '?',  '?', '?']);

(2) 已知两边和其中一边的对角SSA

var array = triangle.solve([4, 5, '?',  30, '?', '?']);

(3)已知SAS

var array = triangle.solve([4, 5,  '?',  '?', '?', 30]);

(4)AAS

var array = triangle.solve([4, '?',  '?',  50, '?', 30]);

(5) 角边角ASA

var array = triangle.solve([4, '?',  '?',   '?', 50, 30]);

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。