LCA离线算法Tarjan
这里给出一个LCA的例子：
对于T=<V,E>
V={1,2,3,4,5}
E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}
则有：
LCA(T,5,2)=1
LCA(T,3,4)=3
LCA(T,4,5)=3
LCA问题算法
⒈离线算法Tarjan
利用并查集优越的时空复杂度，我们可以实现LCA问题的O(n+Q）算法，这里Q表示询问的次数。Tarjan算法基于深度优先搜索的框架，对于新搜索到 的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜索，每搜索完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解决。其他的LCA询 问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并，并将当前结点设为这个集合的祖先。之后继续搜索下一棵子树，直到当前结点的所 有子树搜索完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于 进行的是深度优先搜索，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v 所在集合的祖先。
下面给出这个算法的伪代码描述：
LCA(u) {
Make-Set(u)
ancestor[Find-Set(u)]=u
对于u的每一个孩子v {
LCA(v)
Union(u)
ancestor[Find-Set(u)]=u
}
checked[u]=true
对于每个（u,v）属于P {
if checked[v]=true
then 回答u和v的最近公共祖先为 ancestor[Find-Set(v)]
}
}
由于是基于深度优先搜索的算法，只要调用LCA(root[T]）就可以回答所有的提问了，这里root[T]表示树T的根，假设所有询问（u,v）构成集合P。
⒉在线算法 倍增法
每次询问O(logN)，d[i] 表示 i节点的深度，p[i,j] 表示 i 的 2^j 倍祖先，那么就有一个递推式子 p[i,j]=p[p[i,j-1],j-1]，这样子一个O(NlogN）的预处理求出每个节点的 2^k 的祖先
，然后对于每一个询问的点对a,b的最近公共祖先就是：
先判断是否 d[a] > d[b]，如果是的话就交换一下（保证 a 的深度小于 b 方便下面的操作）然后把b 调到与a 同深度，同深度以后再把a,b 同时往上调（dec(j)) 调到有一个最小的j 满足p[a,j]!=p[b,j] (a b 是在不断更新的)，最后再把 a,b 往上调 (a=p[a,0],b=p[b,0]) 一个一个向上调直到a = b，这时 a or b 就是他们的最近公共祖先。