HDU 2050折线分割平面(解析，直线，平行线，折线，三角形)

这篇文章全是转载总结，留给自己看的......

(1) n条直线最多分平面问题

      题目大致如:n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

      析:可能你以前就见过这题目，这充其量是一道初中的思考题。但一个类型的题目还是从简单的入手，才容易发现规律。当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。

         故：f(n)=f(n-1)+n

                     =f(n-2)+(n-1)+n

                      ……

                      =f(1)+1+2+……+n

                      =n(n+1)/2+1

 

         (2) 折线分平面（hdu2050）

       根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

      

       故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                     =f(n-1)+4(n-1)+1

                    =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                     ……

                    =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)  

                     =2n^2-n+1

      (3) 封闭曲线分平面问题

      题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

       析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。

 

             故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)    

                            =f(1)+2+4+……+2(n-1)

                            =n^2-n+2

          (4)平面分割空间问题（hdu1290）

          由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。（g（n）为（1）中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g（n-1）个空间。

        

        故：f=f(n-1)+g(n-1)   ps:g(n)=n(n+1)/2+1

                  =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

                   ……

                 =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

                 =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

                =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

                =(n^3+5n)/6+1

 

 

直线：
条数	最多交点数	平面数
1	0	2
2	1	f(1)+2
3	2	f(2)+3
4	3	f(3)+4
n	n-1(该条数的直线前面的直线总条数)	f(n-1)+增加的平面数=f(n-1)++(交点数+1)=f(n-1)+((n-1)+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

平行线：
对数	条数	最多交点数	平面数
1	2	0	3
2	4	4=2*2	f(1)+6=f(1)+3*2
3	6	8=4*2	f(2)+10=f(2)+5*2
4	8	12=6*2	f(3)+14=f(3)+7*2
n	2*n	单条直线交点数*2=该对平行线前的直线总条数*2=(2*(n-1))*2	f(n-1)+单条直线增加的平面数*2=f(n-1)+(交点数+1)*2=f(n-1)+(2*(n-1)+1)*2

 

 

 

折线：
折线数	所含直线数	最多交点数	平面数
1	2	0	2
2	4	4=2*2	f(1)+5=f(1)+(2*3-1)
3	6	8=4*2	f(2)+9=f(2)+(2*5-1)
4	8	12=6*2	f(3)+13=f(3)+(2*7-1)
n	2*n	单条直线交点数*2=该对平行线前的直线总条数*2=(2*(n-1))*2	f(n-1)+(单条直线增加的平面数*2-1)=f(n-1)+((交点数+1)*2-1)=f(n-1)+((2*(n-1)+1)*2-1)

 

 

 

三角形
个数	交点数	增加的平面个数	分割平面总数
1	0	1	2
2	2*3	3*3-3	f(1)+3*3-3
3	4*3	5*3-3	f(2)+5*3-3
4	6*3	7*3-3	f(3)+7*3-3
n	(n*2-2)*3	(2*n-1)*3-3	f(n-1)+(2*n-1)*3-3=f(n-1)+6*(n-1)