LPS

给一个字符串，找出它的最长的回文子序列的长度。例如，如果给定的序列是“BBABCBCAB”，则输出应该是7，“BABCBAB”是在它的最长回文子序列。 “BBBBB”和“BBCBB”也都是该字符串的回文子序列，但不是最长的。注意和最长回文子串的区别(参考：最长回文串)！这里说的子序列，类似最长公共子序列LCS( Longest Common Subsequence)问题，可以是不连续的。这就是LPS(Longest Palindromic Subsequence)问题。

最直接的解决方法是：生成给定字符串的所有子序列，并找出最长的回文序列，这个方法的复杂度是指数级的。下面来分析怎么用动态规划解决。

1）最优子结构

假设 X[0 ... n-1]  是给定的序列，长度为n.  让 L(0,n-1) 表示 序列 X[0 ... n-1] 的最长回文子序列的长度。

1. 如果X的最后一个元素和第一个元素是相同的，这时：L(0, n-1) = L(1, n-2) + 2 ,  还以 “BBABCBCAB” 为例，第一个和最后一个相同，因此 L(1,n-2) 就表示蓝色的部分。

2. 如果不相同：L(0, n-1) = MAX ( L(1, n-1) ,  L(0, n-2) )。 以”BABCBCA” 为例，L(1,n-1)即为去掉第一个元素的子序列，L(0, n-2)为去掉最后一个元素。

有了上面的公式，可以很容易的写出下面的递归程序：

01 #include<stdio.h>
02 #include<string.h>
03 int lps(char *seq, int i, int j)
04 {
05    //一个元素即为1
06    if (i == j)
07      return 1;
08    if(i > j) return 0; //因为只计算序列 seq[i ... j]
09
10    // 如果首尾相同
11    if (seq[i] == seq[j])
12       return lps (seq, i+1, j-1) + 2;
13
14    // 首尾不同
15    return max( lps(seq, i, j-1), lps(seq, i+1, j) );
16 }
17
18 /* 测试 */
19 int main()
20 {
21     char seq[] = "acmerandacm";
22     int n = strlen(seq);
23     printf ("The lnegth of the LPS is %d", lps(seq, 0, n-1));
24     getchar();
25     return 0;
26 }

Output: The lnegth of the LPS is 5 (即为: amama)

重叠子问题

画出上面程序的递归树(部分)，已一个长度为6 的字符串为例：

1              L(0, 5)
2            /        \
3           /          \
4       L(1,5)          L(0,4)
5      /    \            /    \
6     /      \          /      \
7 L(2,5)    L(1,4)  L(1,4)  L(0,3)

可见有许多重复的计算，例如L(1,4)。该问题符合动态规划的两个主要性质: 重叠子问题 和 最优子结构  。

下面通过动态规划的方法解决，通过自下而上的方式打表，存储子问题的最优解。

01 int lpsDp(char * str,int n){
02     int dp[n][n], tmp;
03     memset(dp,0,sizeof(dp));
04     for(int i=0; i<n; i++) dp[i][i] = 1;
05     // i 表示 当前长度为 i+1的 子序列
06     for(int i=1; i<n; i++){
07         tmp = 0;
08         //考虑所有连续的长度为i+1的子串. 该串为 str[j, j+i]
09         for(int j=0; j+i<n; j++){
10             //如果首尾相同
11             if(str[j] == str[j+i]){
12                 tmp = dp[j+1][j+i-1] + 2;
13             }else{
14                 tmp = max(dp[j+1][j+i],dp[j][j+i-1]);
15             }
16             dp[j][j+i] = tmp;
17         }
18     }
19     //返回串 str[0][n-1] 的结果
20     return dp[0][n-1];
21 }

该算法的时间复杂度为O(n^2)。其实这个问题和 最长公共子序列 问题有些相似之处，我们可以对LCS算法做些修改，来解决此问题:

1) 对给定的字符串逆序 存储在另一个数组 rev[] 中

2) 再求这两个 字符串的 LCS的长度

时间复杂度也为 O(n^2)。

参考：http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-12-longest-palindromic-subsequence/