在各种算法中,向量计算是最常用的一种操作之一。传统的向量计算,学过中学数学的同学也能明白怎么做。但在现在的大数据环境下,数据一般都会比较稀疏,因此稀疏向量的计算,跟普通向量计算,还是存在一些不同。
首先,我们定义两个向量:
A=[x1,x2,⋯,xn]
B=[y1,y2,⋯,yn]
定义A、B的点积为 A∗B ,要求 A∗B=?
最直接的方式,当然就是按中学时候就学过的方法:
A∗B=x1∗y1+x2∗y2+⋯+xn∗yn
先不考虑乘法与加法的区别,也不考虑计算精度问题。如果按上述方式进行计算,总共进行了n次乘法,n-1次加法,总复杂度为2n-1。矩阵乘法的基本计算单元是向量之间的乘法,复杂度为 n3 。
在现在的大数据环境之下,n可能会很大,比如在计算广告,或者文本分类中,上百万维都是很正常的。而且这种向量都有一个特点,那就是很稀疏。如果没有很稀疏这个特点,那后面自然就无从谈起了。。。
对于稀疏向量,自然而然的可以想到按一下方式进行存储:
A:{<x1:location1>,<x2:location2>,⋯,<xi,locationi>}
B:{<y1:location1>,<y2:location2>,⋯,<yj,locationj>}
因为是稀疏向量,所以 i≪n,j≪n
具体在计算A*B的时候,可以在向量A中循环,然后在向量B中进行二分查找。例如,在向量A中取出第一个非零元素,假设为 <x1,location1> ,在B中对location1进行二分。如果找到,计算乘积,如果找不到,自然为0.
那我们来估算一下算法的复杂度。在B中二分的复杂度为 logj ,A的长度为 i ,则这部分的总复杂度为 ilogj ,加法的最大情况为 min(i,j)−1 ,总的复杂度为 ilogj+min(i,j)−1
当然,如果我们知道 i , j 的大小,可以在小的向量上循环,在大的向量上二分,这样复杂度可以降低为 min(i,j)log(max(i,j))+min(i,j)−1
如果咱们不用二分查找,而是使用hash,则二分查找部分可以变为hash。假设hash的复杂度为1,那么总的复杂度为 2min(i,j) 。当然,我们忽略了创建hash的复杂度,以及hash碰撞的复杂度。
这样,总的复杂度就由最初的 2n−1 降到了 2min(i,j) 。
如果n特别特别大,比如凤巢系统动不动就是号称上亿维度。这样i,j也不会特别小。如果是两个矩阵相乘,咱们前面提到的,复杂度为 n3 ,这样就必须上并行计算了。搞数据的同学,对并行肯定不陌生,这里不再细述了。
以上都是理论分析,为了验证实际中的运行效果,特意编写了一部分测试代码。测试代码如下
#!/usr/bin/env python
#coding:utf-8
''' Created on 2016年4月22日 @author: lei.wang '''
import time
#二分查找
def bin_search(num,list):
low = 0
high = len(list) - 1
while(low <= high):
middle = (low + high) / 2
if list[middle] > num:
high = middle - 1
elif list[middle] < num:
low = middle + 1
else:
return middle
return -1
def t1():
all = 1000000
sparse_rate = 1000
vec_a = [0 for i in range(all)]
vec_b = [0 for i in range(all)]
list_none_zero = [sparse_rate*i for i in range(all / sparse_rate)]
for i in list_none_zero:
vec_a[i] = vec_b[i] = 1
sum = 0
#a,b分别不为0的位置
location_a = [i for i in range(0,all,sparse_rate)]
location_b = [i for i in range(0,all,sparse_rate)]
start = time.clock()
for i in location_a:
location = bin_search(i, location_b) #对应a不为0的位置,在b不为0的位置数组中查找是否存在
if location != -1:
sum += vec_a[i] * vec_b[location_b[location]] #如果存在,将结果相加
end = time.clock()
print "cost time is:",(end-start)
print "sum is:",sum
def t2():
all = 1000000
sparse_rate = 1000
vec_a = [0 for i in range(all)]
vec_b = [0 for i in range(all)]
list_of_none_zero = [sparse_rate*i for i in range(all / sparse_rate)]
for i in list_of_none_zero:
vec_a[i] = vec_b[i] = 1
sum = 0
start = time.clock()
for i in range(all):
sum += vec_a[i] * vec_b[i]
end = time.clock()
print "cost time is:",(end-start)
print "sum is:",sum
if __name__ == '__main__':
t1()
print
print
t2()
bin_search是自己实现的二分查找,t1方法是用上面说到的二分查找的方式,t2方法就是最简单的直接遍历相乘的方式。
在mac上运行以上代码,结果如下:
cost time is: 0.002319
sum is: 1000
cost time is: 0.123861
sum is: 1000
可以看出,遍历的方式是二分查找的方式的54倍!按上述咱们的分析方式,遍历的方式应该是 2∗106 的复杂度,二分查找的方式应该是 103∗log1000 ,即 104 左右的复杂度。二分查找的方式比遍历的方式应该要快100倍左右。根据咱们实验的结果来看,数量级上来说基本是差不多的。如果采取一些优化方式,比如用python自带的binset模块,应该会有更快的速度。
如果改变上述代码中的稀疏度,即改变sparse_rate的数值,例如将sparse_rate由1000改为10000,运行的结果如下:
cost time is: 0.000227
sum is: 100
cost time is: 0.118492
sum is: 100
如果将sparse_rate改为100,运行的结果为:
cost time is: 0.034885
sum is: 10000
cost time is: 0.124176
sum is: 10000
很容易看出来,对于遍历的方式来说,不管稀疏度为多少,耗时都是基本不变的。但是对于我们采用二分查找的方式来说,稀疏度越高,节省的计算资源,就越可观。