简单数学题或者计算几何:Codeforces 659D-Bicycle Race

Codeforces 659D题目大意如下:

自行车环湖赛,车手围绕湖骑行一周,给出车手骑行的路线的每个转弯处的坐标,同时需要注意的是车手在转弯方向朝向湖的时候有骑进湖里的危险。现在要你根据给出的这些点的坐标,判断车手将会有多少个转弯危险处(每相邻三个点之间的两条路方向都是不同的,而且车手开始的地方是在最西南角)。

给人的第一印象是几何,所以理所当然的想到计算几何,但是之后还有一种非常简单的判断方法,两种现在都写在下面:

1.计算几何法:

从题目的题意可以知道,重点是要分清出湖和陆地,联想到矢量,能够实现这样判断的就是叉乘了。比如对于任意三个相邻的点,我们沿着车手的骑行方向规定为p1, p2, p3,同事也代表了这三个点对应的向量。假设向量A = p2 - p1, B = p3 - p1。那么C = A x B

这里这样理解:如果这个转弯口是对着湖的话,显然会出现C的模小于零的情况;如果这个转弯口是对着陆地的话,就是C的模大于零的情况。

所以可以根据这个对每一个点都计算一次叉乘,统计C的模小于零的数量,代码如下(Accept:15MS / 2200KB):

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int maxn = 1005;

int n, x[maxn], y[maxn];

int det(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3) {
	return (x2 - x1)*(y3 - y1) - (y2 - y1)*(x3 - x1);
}

void solve() {
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int temp = det(x[i], y[i], x[(i + 1) % n], y[(i + 1) % n], x[(i + 2) % n], y[(i + 2) % n]);
		if (temp > 0) ans++;
	}
	printf("%d\n", ans);
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i <= n; i++) scanf("%d %d", &x[i], &y[i]);
	solve();
	return 0;
}


2.简单数学(也算几何吧):

这种方法可以说是通用的,不管在哪个叫出发,都可以计算出正确结果。

我们知道对于这个任意三个相邻点都不共线的问题,如果要围成一个闭包,那么最少只要4条边,其余多出来的边一定形成转弯口,而且是指向湖的,而且这样的口计算起来刚好是多余边数的一半,因为毕竟成对出现嘛,所以计算方法就是(假设点数为N):(N - 4) / 2

代码如下(Accept:15MS / 0KB):

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

int main() {
	int N, a, b;
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 0; i <= N; i++) scanf("%d %d", &a, &b);
	printf("%d\n", (N - 4) / 2);
	return 0;
}


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