体、域的基本概念

体、域的定义和例子

定义：
设D是含有至少两个元素的幺环.如果D的每个非零元素都可逆，则称D是一个体，具有乘法交换律的体称为域
“至少两个元素”等价于”1不等于0”

有理数域Q、实数域R、复数域C都是熟知的域
F⊆E,F和E都是域 ，则称F是E的子域，E是F的扩域

四元数体

Hamilton四元数体H是最常用的体，它是由环状M2(C)形如
y=∣∣αβ∣∣
∣∣−β¯−α¯∣∣
的元素组成的子集

我在此简称为 [α,β]

不难验证它构成 M2(C) 的子环——非空，减法封闭和乘法封闭:

[α,β][γ,δ]=[αγ−βδ¯,αδ+βγ¯]

又显然 H 含有零矩阵和单位矩阵；又对于非零矩阵
[α,β],α,β不全为0
行列式为 αα¯+ββ¯=|α|2+|β|2≠0
则逆矩阵为 1|α|2+|β|2[α,β]
也属于 H ，这就证明 H 是体

四元数体常表示为这样的形式，记i为虚数单位
α=a+bi,β=c+di,a,b,c,d∈R
[α,β]=a[1,0]+b[i,0]
记H的乘法幺元[1,0]为1,I=[i,0],J=[0,1],K=[0,i]
则[α，β]=a+bI+cJ+dK
所以， H={a+bI+cJ+dK|a,b,c,f∈R}=R+RI+RJ=RK
容易看出 H是实数域上以1,I,J,K为基的四维线性空间，满足
I2=J2=K2=−1
IJ=K=−JI,JK=I=−KJ,KI=J=−IK
这说明 H 不是域——乘法交换律

四元数应用：

1）确定一个刚体在的位置和姿态
基本的数学工具是矢径（位置描述）方位矩阵（姿态描述），常用的定位有方向、欧拉角、欧拉参数、四元数、齐次坐标、旋量等，四元数不论刚体处于任何状态都不会退化，所得方程线性化程度高
2）作为变换算子多功能
3）多体系统运动&动力学的应用
4）惯性导航系统中的应用，多种姿态变换和控制算法中最佳工具

域的特征

在有限域Fp(=Z/pZ)(p为素数)中，1的p倍为p⋅1=0.
有理数域Q中，1的任何非零倍数都不等于0

定义，设F是域，使得 n⋅1=0的最小正整数n称为F的 特征.如果不存在，则 F的特征为0
特征记为char(F)或χ(F)

命题，设 F是域，如果char(F)>0，则char(F)必为素数

命题，设 F是域，如果char(F)=0,F必含有与Q同构的子域
如果char(F)=p>0,则F必含有与Fp同构的子域