POJ 3641 Pseudoprime numbers【素数+快速幂】

Pseudoprime numbers

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Description

Fermat's theorem states that for any prime number p and for any integer a > 1, a^p = a (mod p). That is, if we raise a to the p^th power and divide by p, the remainder is a. Some (but not very many) non-prime values of p, known as base-a pseudoprimes, have this property for some a. (And some, known as Carmichael Numbers, are base-a pseudoprimes for all a.)

Given 2 < p ≤ 1000000000 and 1 < a < p, determine whether or not p is a base-a pseudoprime.

Input

Input contains several test cases followed by a line containing "0 0". Each test case consists of a line containing p and a.

Output

For each test case, output "yes" if p is a base-a pseudoprime; otherwise output "no".

Sample Input

3 2
10 3
341 2
341 3
1105 2
1105 3
0 0

Sample Output

no
no
yes
no
yes
yes

Source

Waterloo Local Contest, 2007.9.23

题意：

费马定理表述，对所有的素数p，对于任意一个数a ，都必定有a^p = a (mod p)，也就是a^p 和a 在对p 取模的情况下值是相同的，但是有一些数，被定义为 Pseudoprime numbers

因为他们对于基于某些a 值的情况下，费马定理是成立的，但是这个数本身不是素数，特别的，如果某个非素数对基于很多的a 都的都成立，这个数被定义为 Carmichael Numbers----以上都是在说定义...

然后给出两个数p，a 问p 是不是基于a 的Pseudoprime numbers...

题解：

由题意可知，需要满足两条，才能是Pseudoprime numbers

1，p 不是素数

2，a^p = a (mod p)

第一条可以进行素性的测试，第二条可以进行快速幂取模运算

/*
http://blog.csdn.net/liuke19950717
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool is_prime(ll n)
{
	if(n%2==0)
	{
		return 0;
	}
	ll tp=sqrt(n*1.0+0.5);
	for(ll i=3;i<tp;i+=2)
	{
		if(n%i==0)
		{
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}
ll quick_mod(ll n,ll m,ll mod)
{
	ll ans=1;
	while(m)
	{
		if(m&1)
		{
			ans=n*ans%mod;
		}
		n=n*n%mod;
		m>>=1;
	}
	return ans;
}
bool ok(ll p,ll a)
{
	return quick_mod(a,p,p)==a%p&&!is_prime(p);
}
int main()
{
	ll p,a;
	while(scanf("%lld%lld",&p,&a),p|a)
	{
		if(ok(p,a))
		{
			printf("yes\n");
		}
		else
		{
			printf("no\n");
		}
	} 
	return 0;
}