0-1背包问题

简介

    背包问题已经是一个很经典而且讨论很广泛的算法问题了。最近学习到这一部分，打算结合自己思考和编码的过程做一个思考总结。这里主要讨论的0-1背包问题和部分背包问题解决方法背后其实隐藏了两种我们比较常见的算法解决思路，动态规划和贪婪算法。正好通过这两个问题的讨论可以好好的加深一下理解。

 

问题描述

    假设我们有n件物品，分别编号为1, 2...n。其中编号为i的物品价值为vi，它的重量为wi。为了简化问题，假定价值和重量都是整数值。现在，假设我们有一个背包，它能够承载的重量是W。现在，我们希望往包里装这些物品，使得包里装的物品价值最大化，那么我们该如何来选择装的东西呢？问题结构如下图所示：

    这个问题其实根据不同的情况可以归结为不同的解决方法。假定我们这里选取的物品每个都是独立的，不能选取部分。也就是说我们要么选取某个物品，要么不能选取，不能只选取一个物品的一部分。这种情况，我们称之为0-1背包问题。而如果我们可以使用部分的物品的话，这个问题则成为部分背包(fractional knapsack)问题。下面我们针对每种情况具体分析一下。

 

0-1背包问题

初步分析

    对于这个问题，一开始确实有点不太好入手。一堆的物品，每一个都有一定的质量和价值，我们能够装入的总重量有限制，该怎么来装使得价值最大呢？对于这n个物品，每个物品我们可能会选，也可能不选，那么我们总共就可能有2^n种组合选择方式。如果我们采用这种办法来硬算的话，则整体的时间复杂度就达到指数级别的，肯定不可行。

    现在我们换一种思路。既然每一种物品都有价格和重量，我们优先挑选那些单位价格最高的是否可行呢？比如在下图中，我们有3种物品，他们的重量和价格分别是10, 20, 30 kg和60, 100, 120。

 

    那么按照单位价格来算的话，我们最先应该挑选的是价格为60的元素，选择它之后，背包还剩下50 - 10 = 40kg。再继续前面的选择，我们应该挑选价格为100的元素，这样背包里的总价值为60 + 100 = 160。所占用的重量为30, 剩下20kg。因为后面需要挑选的物品为30kg已经超出背包的容量了。我们按照这种思路能选择到的最多就是前面两个物品。如下图：

    按照我们前面的期望，这样选择得到的价值应该是最大的。可是由于有一个背包重量的限制，这里只用了30kg，还有剩下20kg浪费了。这会是最优的选择吗？我们看看所有的选择情况：

    很遗憾，在这几种选择情况中，我们前面的选择反而是带来价值最低的。而选择重量分别为20kg和30kg的物品带来了最大的价值。看来，我们刚才这种选择最佳单位价格的方式也行不通。 

动态规划 

    既然前面两种办法都不可行，我们再来看看有没有别的方法。我们再来看这个问题。我们需要选择n个元素中的若干个来形成最优解，假定为k个。那么对于这k个元素a1, a2, ...ak来说，它们组成的物品组合必然满足总重量<=背包重量限制，而且它们的价值必然是最大的。因为它们是我们假定的最优选择嘛，肯定价值应该是最大的。假定ak是我们按照前面顺序放入的最后一个物品。它的重量为wk，它的价值为vk。既然我们前面选择的这k个元素构成了最优选择，如果我们把这个ak物品拿走，对应于k-1个物品来说，它们所涵盖的重量范围为0-(W-wk)。假定W为背包允许承重的量。假定最终的价值是V，剩下的物品所构成的价值为V-vk。这剩下的k-1个元素是不是构成了一个这种W-wk的最优解呢？

    我们可以用反证法来推导。假定拿走ak这个物品后，剩下的这些物品没有构成W-wk重量范围的最佳价值选择。那么我们肯定有另外k-1个元素，他们在W-wk重量范围内构成的价值更大。如果这样的话，我们用这k-1个物品再加上第k个，他们构成的最终W重量范围内的价值就是最优的。这岂不是和我们前面假设的k个元素构成最佳矛盾了吗？所以我们可以肯定，在这k个元素里拿掉最后那个元素，前面剩下的元素依然构成一个最佳解。

    现在我们经过前面的推理已经得到了一个基本的递推关系，就是一个最优解的子解集也是最优的。可是，我们该怎么来求得这个最优解呢？我们这样来看。假定我们定义一个函数c[i, w]表示到第i个元素为止，在限制总重量为w的情况下我们所能选择到的最优解。那么这个最优解要么包含有i这个物品，要么不包含，肯定是这两种情况中的一种。如果我们选择了第i个物品，那么实际上这个最优解是c[i - 1, w-wi] + vi。而如果我们没有选择第i个物品，这个最优解是c[i-1, w]。这样，实际上对于到底要不要取第i个物品，我们只要比较这两种情况，哪个的结果值更大不就是最优的么？

    在前面讨论的关系里，还有一个情况我们需要考虑的就是，我们这个最优解是基于选择物品i时总重量还是在w范围内的，如果超出了呢？我们肯定不能选择它，这就和c[i-1, w]一样。

    另外，对于初始的情况呢？很明显c[0, w]里不管w是多少，肯定为0。因为它表示我们一个物品都不选择的情况。c[i, 0]也一样，当我们总重量限制为0时，肯定价值为0。

    这样，基于我们前面讨论的这3个部分，我们可以得到一个如下的递推公式：

    有了这个关系，我们可以更进一步的来考虑代码实现了。我们有这么一个递归的关系，其中，后面的函数结果其实是依赖于前面的结果的。我们只要按照前面求出来最基础的最优条件，然后往后面一步步递推，就可以找到结果了。

    我们再来考虑一下具体实现的细节。这一组物品分别有价值和重量，我们可以定义两个数组int[] v, int[] w。v[i]表示第i个物品的价值，w[i]表示第i个物品的重量。为了表示c[i, w]，我们可以使用一个int[i][w]的矩阵。其中i的最大值为物品的数量，而w表示最大的重量限制。按照前面的递推关系，c[i][0]和c[0][w]都是0。而我们所要求的最终结果是c[n][w]。所以我们实际中创建的矩阵是(n + 1) x (w + 1)的规格。下面是该过程的一个代码参考实现：

[cpp]  view plain copy

1. #include   
2. #define MAX_NUM 5  
3. #define MAX_WEIGHT 10  
4. using namespace std;  
5.   
6. //动态规划求解  
7. int zero_one_pack(int total_weight, int w[], int v[], int flag[], int n) {  
8.   int c[MAX_NUM+1][MAX_WEIGHT+1] = {0}; //c[i][j]表示前i个物体放入容量为j的背包获得的最大价值  
9.   // c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]}  
10.   //第i件物品要么放，要么不放  
11.   //如果第i件物品不放的话,就相当于求前i-1件物体放入容量为j的背包获得的最大价值  
12.   //如果第i件物品放进去的话,就相当于求前i-1件物体放入容量为j-w[i]的背包获得的最大价值  
13.   for (int i = 1; i <= n; i++) {  
14.     for (int j = 1; j <= total_weight; j++) {  
15.       if (w[i] > j) {  
16.         // 说明第i件物品大于背包的重量，放不进去  
17.         c[i][j] = c[i-1][j];  
18.       } else {  
19.         //说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放  
20.           if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) {  
21.             c[i][j] = c[i-1][j];  
22.           }  
23.           else {  
24.             c[i][j] =  v[i] + c[i-1][j-w[i]];  
25.           }  
26.       }  
27.     }  
28.   }  
29.   
30.   //下面求解哪个物品应该放进背包  
31.   int i = n, j = total_weight;  
32.   while (c[i][j] != 0) {  
33.     if (c[i-1][j-w[i]]+v[i] == c[i][j]) {  
34.       // 如果第i个物体在背包，那么显然去掉这个物品之后，前面i-1个物体在重量为j-w[i]的背包下价值是最大的  
35.       flag[i] = 1;  
36.       j -= w[i];  
37.       --i;  
38.     }  
39.   }  
40.   return c[n][total_weight];  
41. }  
42.   
43. //回溯法求解  
44. int main() {  
45.   int total_weight = 10;  
46.   int w[4] = {0, 3, 4, 5};  
47.   int v[4] = {0, 4, 5, 6};  
48.   int flag[4]; //flag[i][j]表示在容量为j的时候是否将第i件物品放入背包  
49.   int total_value = zero_one_pack(total_weight, w, v, flag, 3);  
50.   cout << "需要放入的物品如下" << endl;  
51.   for (int i = 1; i <= 3; i++) {  
52.     if (flag[i] == 1)  
53.       cout << i << "重量为" << w[i] << ", 价值为" << v[i] << endl;  
54.   }  
55.   cout << "总的价值为: " << total_value << endl;  
56.   return 0;  
57. }