如何用Green定理求五星形曲线所围面积的"精确解"
问题
这条曲线是跟着别人玩Geogebra，演示圆圆相切并滚动情况下内摆线轨迹的时候，我突发奇想调整参数凑出来的，感觉它跟五角星最接近、参数方程也简洁，用来做例子很理想。
曲线的参数方程:
{xy=−9sin(2t)−5sin(3t)=9cos(2t)−5cos(3t)t∈[0,2π]
曲线形如：
它的隐函数方程也计算过了：
F(x,y)=625(x2+y2)3−36450y(5x4−10x2y2+y4)+585816(x2+y2)2−41620992(x2+y2)+550731776=0
得到曲线的时候所用的参数动态调整序列图之一：
一直让我困惑的 问题 是：
求该曲线包围的封闭区域面积的解析解
解答
经过一番折腾和取经，终于得到了肯定的答案。
问题的关键是求曲线自交点对应位置的解析解。用到了以下特殊的结果:
- 观察到曲线最高点坐标 (0,14) 对应于 t=π ;
- 由对称性，当两个点同时从 t=π 的最高点出发,以相同的速度相背而行, 当 x(π+Δt)=x(π−Δt) 时恰好是曲线的一个对称交点,而且这个 Δt 居然可以用 Mathematica 的
Solve函数解出来! 如下图所示
- 从求出的”交点”再到下一个曲线自己的交点的距离恰好是 2π5 ;
- 从而曲线所包围的面积的 15 就可以界定出来了! 如图:
ClearAll["Global`*"];
curve={-9Sin[2t]-5Sin[3t],9Cos[2t]-5Cos[3t]};
x[t_]:=Evaluate@curve[[1]]
y[t_]:=Evaluate@curve[[2]]
deltaT=t/.Solve[{x[\[Pi]+t]-x[\[Pi]-t]==0,0<t<Pi},t]/.C[1]->0;
t0=%[[1]]-2 \[Pi]/5//Simplify;
ParametricPlot[curve u,{t,0,2Pi},{u,0,1},MeshFunctions->{Boole[((Pi-t0<=#3<=Pi+t0)&&(0<=#4<=1))]&},Mesh->{{.2}},MeshShading->{{None},{Red}},PlotPoints->150,Axes->True,AxesOrigin->{0,0},Frame->False,AxesStyle->Directive[Black,12,Arrowheads[.035],FontFamily->"Arial"],PlotRangePadding->Scaled[.1],Ticks->Automatic]/.Line[x_]:>{Blue,Line[x]}
ClearAll["Global`*"];
curve={-9Sin[2t]-5Sin[3t],9Cos[2t]-5Cos[3t]};
x[t_]:=Evaluate@curve[[1]]
y[t_]:=Evaluate@curve[[2]]
Solve[x[\[Pi]+t]-x[\[Pi]-t]==0,t]/.C[1]->0;
t0=%[[4,1,2]]-2 \[Pi]/5//FullSimplify;
ParametricPlot[curve u,{t,0,2Pi},{u,0,1},MeshFunctions->{Boole@( ( Or[(Pi-t0)<= #3<= (Pi+t0),(7Pi/5-t0)<= #3<= (7Pi/5+t0)] )&&0<= #4<=1)&},Mesh->{{.2}},MeshShading->{{Green},{Red}},PlotPoints->90,Axes->False]/.Line[_]:>Sequence[]
5. 对这个区域使用Green定理, 两条直线段边界都在过原点的直线上,选择恰当的公式可以简化处理。
6. 从而，最后得到的面积是:
A=261π−2526253(5154181−−−√−68561)−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−435 arcctg(133(6181−−−√−79)−−−−−−−−−−−−−−√)
等价的解析表达形式还可能有其它，但是这已经不重要了。近似解：
214.8531269265365455525903613514926575559640647492478893827700660624406115425295897791820009518934877062772137299324370327089756015443937609267786516798106670343055981006246566712290619761054779907606252474143374263340754820953717866626420862990504583……
附录
顺便,发现五角星可以这样画了
ClearAll["Global`*"];
curve={-9Sin[2t]-5Sin[3t],9Cos[2t]-5Cos[3t]};
x[t_]:=Evaluate@curve[[1]]
y[t_]:=Evaluate@curve[[2]]
deltaT=t/.Solve[{x[\[Pi]+t]-x[\[Pi]-t]==0,0<t<Pi},t];
t0=deltaT[[1]]-2 \[Pi]/5//Simplify;
ParametricPlot[curve u,{t,0,2Pi},{u,0,1},MeshFunctions->{Boole@( ( Or[Pi/5<= #3<= (Pi/5+t0),3Pi/5<= #3<= (3Pi/5+t0),Pi<= #3<= (Pi+t0),7Pi/5<= #3<= (7Pi/5+t0),9Pi/5<= #3<= (9Pi/5+t0)] )&&0<= #4<=1)&},Mesh->{{.2}},MeshShading->{{Yellow},{Red}},PlotPoints->120,Axes->False]/.Line[_]:>Sequence[]