欧几里得算法-最大公约数

参见百度百科 最大公约数

最大公约数（Greatest Common Divisor）

正整数a,b,r

gcd(a,b)代表a，b的最大公约数

定理为：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：

a可以表示为 a=kb+r,k为正整数

则r=a mod b

假设d为a,b的公约数，记作d|a,d|b

根据a=kb+r,得到 r=a-kb

等式两边同时除以d,记作 r/d=a/d-kb/d,由于d|a,d|b,可以得到等式右边是可以整除的，因此等式左边也是可以整除的，所以d|r,因此得证gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，即，两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的相除余数的最大公约数。