范数、奇异值

【范数】
格式：n=norm(A,p)
功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数
以下是Matlab中help norm 的解释
NORM Matrix or vector norm.
For matrices…
NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)).
NORM(X,2) is the same as NORM(X).
NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum,
= max(sum(abs(X))).
NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,
= max(sum(abs(X’))).
NORM(X,’fro’) is the Frobenius norm, sqrt(sum(diag(X’*X))).
NORM(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or ‘fro’.
For vectors…
NORM(V,P) = sum(abs(V).^P)^(1/P).
NORM(V) = norm(V,2).
NORM(V,inf) = max(abs(V)).
NORM(V,-inf) = min(abs(V)).
1、如果A为矩阵
n=norm(A) ,返回A的最大奇异值，即max(svd(A))
n=norm(A,p) ,根据p的不同，返回不同的值
p 返回值
1 返回A中最大一列和，即max(sum(abs(A)))
2 返回A的最大奇异值，和n=norm(A)用法一样
inf 返回A中最大一行和，即max(sum(abs(A’)))
fro’ 返回A和A‘的积的对角线和的平方根，即sqrt(sum(diag(A’*A)))

2、如果A为向量
norm(A,p) 返回向量A的p范数。即返回 sum(abs(A).^p)^(1/p),对任意p大于1小于正无穷；
norm(A) 返回向量A的2范数，即等价于norm(A,2)，即sum(abs(A).^2)^(1/2)
norm(A,inf) 返回max(abs(A))
norm(A,-inf) 返回min(abs(A))
【奇异值】
格式：[U,S,V] = svd(X)
解释： [U,S,V] = svd(X) produces a diagonal matrix S of the same dimension as X, with nonnegative diagonal elements in decreasing order, and unitary matrices U and V so that X = U*S*V’.
假设X为mn矩阵，则S为奇异值矩阵，它为m*n阶对角矩阵，其对角线上的值为X^* X的非负特征值的算术平方根；U为m*m阶酉矩阵，它是X*X^（X的共轭转置）的特征向量；V为n*n阶酉矩阵，它是X^（X的共轭转置）* X的特征向量；