面试之路（25）-斐波那契数列类问题的详解

斐波那契数列介绍：

常见的递归解法：

int Fibonacci(int n){
    if(n <= 0){
        return 0;
    }
    if(n == 1){
        return 1;
    }
    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

递归解法的效率分析：

这棵树是调用树，有好多节点是重复的。随着n的增大，重复的节点数目急剧增大。时间复杂度随着n是指数增加的。

循环的效率更高的改进方法：

int Fibonacci(int n){
    if(n <= 0){
        return 0;
    }
    if(n == 1){
        return 1;
    }
    int prev = 1;
    int next = 0;
    int all = 0;
    for(int i = 2;i <= n;++i){
        all = prev + next;
        next = prev;
        prev = all;
    }
    return all;
}

上述解法的时间复杂度为o（n）

时间复杂度为o（lgn）的解法：

数学先验知识：

上面的公式可以用数学归纳发求得,转化为求矩阵的乘积。
时间复杂度仍然为o（n）。

乘方的优化算法，降低到O（lgn）

斐波那契的变形问题：

变形一（青蛙跳面试题，leetcode上面有）：

一只青蛙一次跳一级或者2级台阶，求青蛙条n级台阶的方法数目？

思路：

s(n) = s(n-1)+s(n-2)，本质是斐波那契数列问题

进一步扩展：

青蛙，一次可以条1,2到n级台阶，那么跳上n级台阶，方法数目？

思路：

f（n） = 2^(n-1);
可以用数学归纳法证明

斐波那契变形二：（方块面试题）

把一个2*1的方块，放进8个2*1的方块，一共有多少种方法？

思路分析：

最后一块竖着放，还需要f（7），横着放的话，是f（6），
f（8） = f（7）+f（6）；

总结：

斐波那契问题灵活应用是解题关键