量取牛奶 USACO/codevs2094大师Master
农夫约翰要量取 Q(1 <= Q <= 20,000)夸脱(夸脱,quarts,容积单位——译者注) 他的最好的牛奶,并把它装入一个大瓶子中卖出。消费者要多少,他就给多少,从不有任何误差。
农夫约翰总是很节约。他现在在奶牛五金商店购买一些桶,用来从他的巨大的牛奶池中量出 Q 夸脱的牛奶。每个桶的价格一样。你的任务是计算出一个农夫约翰可以购买的最少的桶的集合,使得能够刚好用这些桶量出 Q 夸脱的牛奶。另外,由于农夫约翰必须把这些桶搬回家,对于给出的两个极小桶集合,他会选择“更小的”一个,即:把这两个集合按升序排序,比较第一个桶,选择第一个桶容积较小的一个。如果第一个桶相同,比较第二个桶,也按上面的方法选择。否则继续这样的工作,直到相比较的两个桶不一致为止。例如,集合 {3,5,7,100} 比集合 {3,6,7,8} 要好。
为了量出牛奶,农夫约翰可以从牛奶池把桶装满,然后倒进瓶子。他决不把瓶子里的牛奶倒出来或者把桶里的牛奶倒到别处。用一个容积为 1 夸脱的桶,农夫约翰可以只用这个桶量出所有可能的夸脱数。其它的桶的组合没有这么方便。
计算需要购买的最佳桶集,保证所有的测试数据都至少有一个解。
Line 1: 一个整数 Q
Line 2: 一个整数P(1 <= P <= 100),表示商店里桶的数量
Lines 3..P+2: 每行包括一个桶的容积(1 <= 桶的容积 <= 10000)
输出文件只有一行,由空格分开的整数组成:
为了量出想要的夸脱数,需要购买的最少的桶的数量,接着是:
一个排好序的列表(从小到大),表示需要购买的每个桶的容积
16 3 3 5 7
2 3 5
见描述
先来说说刚开始的思路:
其实很清晰,,每一次枚举用哪个桶来装(一个桶可能会有好多次),最后保证记录下来的值是最优解,只需要再加几个判断。。然而明显超时,下面是TLE一半的程序:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int q,n,i,ans,maxn; int a[200],b[200],s[100],d[100]; void dfs(int dep) { int r,j,k; for (r=1;r<=n;++r) if (q>=a[r]) { q-=a[r]; b[r]++; if (q==0) { maxn=0; for (j=1;j<=n;++j) if (b[j]!=0) maxn++; if (maxn<ans) { ans=maxn; for (j=1;j<=n;++j) s[j]=b[j]; } else if (ans==maxn) for (j=1;j<=n;++j) { if (b[j]!=0&&s[j]==0) { for (k=1;k<=n;++k) s[k]=b[k]; break; } if (b[j]==0&&s[j]!=0) break; } } else dfs(dep+1); q+=a[r]; b[r]--; } else return; return; } int main() { freopen("milk4.in","r",stdin); freopen("milk4.out","w",stdout); scanf("%d",&q); scanf("%d",&n); for (i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]); sort(a+1,a+n+1); ans=2147483647; dfs(1); printf("%d ",ans); for (i=1;i<=n;++i) if (s[i]!=0) printf("%d ",a[i]); return 0; }
我们需要找的是最少的牛奶桶,那么需要先找牛奶桶数为1的所有组合,然后再找桶数为2的,桶数为3的。。。桶数为p的;这样就可以保证第一个找到的一定是最优解,可以直接输出(加个sort);
【dp】“每个桶至少用一次”我们可以用一个完全背包;b[i]表示当需求的牛奶为i时,能否形成这个组合,bool;
【初始化】b[0]=true;
【状态转移方程】b[i]=b[i]||b[i-v[j];
【目标状态】b[q],如果为true,则当前解合法,直接输出即可;
【优化】感谢大(you)宝(wei)的帮助!!
我们需要找的答案是牛奶桶至少用了1次,但是上面的循环中会出现很多牛奶桶用了0次的冗余状态,然后最后一组华丽丽的TLE。。。这里有一个小优化,在初始化时对(i=1...q/v[第一个桶])b[i*v[第一个桶]]=true;对每个其他的桶的状态可以直接由前面的状态得出;这样的优化过后数据就可以全过了;
【代码】(AC)
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int q,p,i,n,k; int v[105],u[105]; bool b[20005]; void print() { printf("%d ",k); for (int i=1;i<=k;++i) printf("%d ",v[u[i]]); exit(0); } void check() { memset(b,0,sizeof(b)); b[0]=true; for (int i=1;i<=q/v[u[1]];++i) b[i*v[u[1]]]=true; for (int i=1;i<=k;++i) for (int j=v[u[i]];j<=q;++j) b[j]=b[j]||b[j-v[u[i]]]; if (b[q]) print(); } void dfs(int dep) { for (int i=u[dep-1]+1;i<=p-k+dep;++i) { u[dep]=i; if (dep==k) check(); else dfs(dep+1); } } void dfsid() { for (k=1;k<=p;++k) dfs(1); } int main() { freopen("milk4.in","r",stdin); freopen("milk4.out","w",stdout); scanf("%d%d",&q,&p); for (i=1;i<=p;++i) scanf("%d",&v[i]); sort(v+1,v+p+1); dfsid(); return 0; }【心得】
个人认为即使这次学了以后遇到也几乎想不到。。。这些算法还是必须要见多了才能够真正掌握啊~