并查集

1,什么是并查集？
并查集，就是Union-Find Set，也称不相交集合 (Disjoint Set),用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题,如其求无向图的连通分量个数等.最完美的应用当属:实现Kruskar算法求最小生成树.


2,并查集的主要操作有:
(1)makeSet(x):把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身(也可以根据情况而变).

(2)findSet(x):查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先.这个才是并查集判断和合并的最终依据.
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

(3)Union(x,y):合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。

3,并查集的优化:
(1)Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了.
(2)Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

实现代码:

#defince VMAX 100 //节点个数
int father[VMAX]; //father[x]:元素x的父节点
int rank[VMAX]; //rank[x]:x元素的秩

//初始化操作
void makeSet(int n)
{
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        father[i] = i; //根据实际情况指定的父节点可变化
        rank[i] = 0; //根据实际情况初始化秩也有所变化
    }
}

//查找操作:两种实现方式
//递归实现
int findSetR(int x)
{
    if(x!=father[x])
        //通过回溯,完成路径压缩
        father[x]=findSetR(father[x]);
    return father[x];
}
//非递归实现
int findSet(int x)
{
    int r=x;
    while(r!=father[r])
        r=father[r];

    //路径压缩:把x上面的所有节点的父节点都指向祖先节点
    int temp;
    while(x!=r)
    {
        temp=father[x];
        father[temp]=r;
        x=temp;
    }
    return r;
}

//合并操作
void UnionR(int x,int y)
{
    x=findSetR(x);
    y=findSetR(y);
    if(x==y)
        return;
    if( rank[x]>rank[y] ) //通常将元素少的集合合并到元素多的集合
        father[y]=x;
    else
        father[x]=y;
    if( rank[x]==rank[y] )
        rank[y]++;
}

void Union(int x,int y)
{
    x=findSet(x);
    y=findSet(y);
    if(x==y)
        return;
    if( rank[x]>rank[y] ) //通常将元素少的集合合并到元素多的集合
        father[y]=x;
    else
        father[x]=y;
    if( rank[x]==rank[y] )
        rank[y]++;
}

4,应用
(1) http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1611

#include<iostream>
using namespace std;

int n, m, i, j;
int father[30005], num[30005];

void makeSet(int n)
{
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        father[i] = i; //使用本身做根
        num[i] = 1; //记录集合的数目
    }
}
int findSetR(int x)
{
    if(father[x] != x) //合并后的树的根是不变的
    {
        father[x] = findSetR(father[x]);
    }
    return father[x];
}

//非递归实现
int findSet(int x)
{
    int r=x;
    while(r!=father[r])
        r=father[r];

    //路径压缩:把x上面的所有节点的父节点都指向祖先节点
    int temp;
    while(x!=r)
    {
        temp=father[x];
        father[temp]=r;
        x=temp;
    }
    return r;
}

void Union(int a, int b)
{
    int x = findSet(a);
    int y = findSet(b);
    if(x == y)
    {
        return;
    }
    if(num[x] <= num[y])
    {
        father[x] = y;
        num[y] += num[x];
    }
    else
    {
        father[y] = x;
        num[x] += num[y];
    }
}

void UnionR(int a, int b)
{
    int x = findSetR(a);
    int y = findSetR(b);
    if(x == y)
    {
        return;
    }
    if(num[x] <= num[y])
    {
        father[x] = y;
        num[y] += num[x];
    }
    else
    {
        father[y] = x;
        num[x] += num[y];
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d %d", &n, &m)!=EOF && n != 0)
    //学生数 小组数
    {
        makeSet(n);
        for(i = 0; i < m; i++)
        {
            int count, first, b;
            //小组成员数目 成员编号0到n-1
            scanf("%d %d",&count, &first);
            for(j = 1; j < count; j++)
            {
                scanf("%d",&b);
                Union(first,b);
            }
        }
        //0所在集合的数目,就是可能人群数
        printf("%d\n",num[findSet(0)]);
    }
    return 0;
}

(2) http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2524
分析:实质就是求连通分量的个数
思路:每合并一次,将个数减1,即可得到最后结果.

#include<iostream>
using namespace std;

int father[50005], rank[50005];
int maxN;
void makeSet(int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        father[i] = i; 
        rank[i] = 0; 
    }
}

int findSet(int x)
{
    int r=x;
    while(r!=father[r])
        r=father[r];
    int temp;
    while(x!=r)
    {
        temp=father[x];
        father[temp]=r;
        x=temp;
    }
    return r;
}

void Union(int x,int y)
{
    x=findSet(x);
    y=findSet(y);
    if(x==y)
        return;
    maxN--;
    if( rank[x]>rank[y] ) 
        father[y]=x;
    else
        father[x]=y;
    if( rank[x]==rank[y] )
        rank[y]++;
}

int main()
{
    int Case = 1;
    int m;
    //总人数 问题数
    while(scanf("%d %d", &maxN, &m),maxN!=0)
    {
        makeSet(maxN);
        int a, b;
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            //a和b信仰相同
            scanf("%d %d",&a, &b);
            a--,b--;
            Union(a,b);
        }
        printf("Case %d: %d\n",Case++,maxN);
    }
    return 0;
}

(3) http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2236
思路:并查集。修复一台电脑就标记为修复过了，然后跟其他已经修复过的电脑进行合并，但是合并的条件必须是两台电脑的距离小于D。当要测试两台电脑时，就是判断他们的根结点是否一样.

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

#define size 1002

int father[size];
int rank[size];
bool isVisit[size];

struct coordinate
{
    double x;
    double y;
}locate[size];

void makeSet(int x)//创建集合
{
    father[x] = x;
    rank[x] = 1;
    isVisit[x] = false;
}

int findSet(int x)//寻找根结点
{
    int r = x;
    int temp;
    while(r!=father[r])
        r = father[r];
    while (x!=r)
    {
        temp = father[x];
        father[temp] = r;
        x = temp;
    }
    return r;
}

void Union(int a,int b)//合并集合
{
    a = findSet(a);
    b = findSet(b);
    if(rank[a]>rank[b])
        father[b] = a;
    else
        father[a] = b;
    if(rank[a] == rank[b])
        rank[b]++;
}

bool IsOk(int a,int b,long distance)//判断两台电脑是否可以连通
{
    double k;
    k = sqrt((locate[a].x-locate[b].x)*(locate[a].x-locate[b].x)+(locate[a].y-locate[b].y)*(locate[a].y-locate[b].y));
    return k<=distance;
}

int main()
{
    char commander;
    int computer;
    int p1,p2;
    int i;
    long distance;
    cin>>computer>>distance; //pc数目,有效距离
    for(i=1;i<=computer;i++)
        makeSet(i);
    for (i=1;i<=computer;i++) //输入每台pc的位置
        cin>>locate[i].x>>locate[i].y;
    while (cin>>commander)
    {
        if (commander == 'O')
        {
            cin>>p1;
            isVisit[p1] = true;
            /*查看修复的电脑是否可以加入到并查集中*/
            for(i=1;i<=computer;i++)
            {
                if(isVisit[i]&&i!=p1)
                    if(IsOk(p1,i,distance)) //满足通讯条件,合并
                        if(findSet(p1)!=findSet(i))
                            Union(p1,i);
            }
        }
        else
        {
            cin>>p1>>p2;
            if(findSet(p1)==findSet(p2))
                cout<<"SUCCESS"<<endl;
            else
                cout<<"FAIL"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}