约瑟夫环问题

约瑟夫环问题

问题描述：

n个人围成一个圆圈依次编号为0,1,…,n-1，从第一个人开始，依次报数1, 2,…,k-1,报到k的人退出，从退出的下一个人开始继续从1报数，仍然报到k的人退出，问最后留下的人是谁。

朴素解法：

这是一个c语言入门题，我们可以用数组或者链表来模拟整个过程得到最终结果。但是这样复杂度为O(n^2)，当n较大时没法算出结果。

数学解法：

先来模拟一下过程，当n ＝ 8，k ＝ 3时

1. n = 8, k = 3

   0 1 2 3 4 5 6 7
   第一次编号为2的退出

2. n = 7, k = 3

   0 1 3 4 5 6 7
   这次将从3开始数，从新进行编号
   3 4 5 6 7 0 1 (A)
0 1 2 3 4 5 6 (B)
   可以发现从(B)式到(A)式有(A) = ((B) + k)%(n+1)

可以继续模拟下去，可以发现这个公式始终满足，显然我们知道当n==1的时候，最后留下的肯定为0，所以我们可以根据这个公式自底向上的计算下去了。

代码：

递归版本：

int fun(int n, int k) {
    if(n == 1) return 0
    else return (fun(n - 1, k) + k) % n;
}

循环版本：

const int maxn = 1000;
int f[maxn];
int fun(int n, int k) {
    f[0] = 1;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        f[i] = (f[i-1] + k) % n;
    }
}

很明显当有多次查询的时候，使用循环版本把答案一次算完可以避免重复计算，当然递归版本记忆化也是可以的。

拓展：

当然朴素的约瑟夫环肯定是一个送分题，这周bc就有一个简单拓展题目
King’s Game
为了铭记历史，国王准备在阅兵的间隙玩约瑟夫游戏。它召来了 n(1\le n\le 5000)n(1≤n≤5000) 个士兵，逆时针围成一个圈，依次标号 1, 2, 3 ... n1,2,3...n。
第一轮第一个人从 11 开始报数，报到 11 就停止且报到 11 的这个人出局。
第二轮从上一轮出局的人的下一个人开始从 11 报数，报到 22 就停止且报到 22 的这个人出局。
第三轮从上一轮出局的人的下一个人开始从 11 报数，报到 33 就停止且报到 33 的这个人出局。
第 n - 1n−1 轮从上一轮出局的人的下一个人开始从 11 报数，报到 n - 1n−1 就停止且报到 n - 1n−1 的这个人出局。
最后剩余的人是幸存者，请问这个人的标号是多少？

如果理解朴素的约瑟夫环话，可以发现这里就是一个简单的递推变化，同样定义 f(n,k) 为有n个人时，第k个人退出剩下的人的编号， f(n,k)=(f(n−1,k+1)+k)

int f(int n, int k) {
    if(n == 1) return 0;
    else return (f(n - 1, k + 1) + k) % n;
}

复杂度O(n)