莫比乌斯反演证明

首先定义几个概念:

1,卷积:
f,g是两个数论函数(也就是说,以自然数集为定义域的复数值函数),则卷积运算f\ast g定义为
(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}
可以证明,卷积运算满足:
1)交换律:f\ast g=g\ast f
由定义显然。

2)结合律:(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)
考察两边作用在n上,左边是
\begin{align}((f\ast g)\ast h)(n) &= \sum_{lk=n}(f\ast g)(l)h(k) \\&= \sum_{lk=n}\left(\sum_{ij=l}f(i)g(j)\right)h(k)\\&= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k)\end{align}
右边是
\begin{align}(f\ast (g\ast h))(n) &= \sum_{il=n}f(i)(g\ast h)(l) \\&= \sum_{il=n}f(i)\left(\sum_{jk=l}g(j)h(k)\right)\\&= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k)\end{align}
故两边相等。

3)存在单位元\iota 使得\iota \ast f=f
我们需要
(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\iota(i)f(j)=f(n)
故不难猜到\iota 应该定义为\iota(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq1\end{cases}
事实上,直接验证可得
(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\delta_{i,1}f(j)=f(n)

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。


2,乘法单位元u
上面的\iota 是数论函数在卷积意义下的单位元,而普通乘法(fg)(n):=f(n)g(n)意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数,记作u


3,莫比乌斯函数\mu
u在卷积意义下的逆元,称为莫比乌斯函数。也就是说\mu 是满足
u\ast\mu=\iota
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
\sum_{d\mid n}\mu(d)=\iota(n)…………(*)

通常,莫比乌斯函数\mu定义为
\mu(1)=1
\mu(n)=(-1)^k,如果n能写成k个不同素数之积;
\mu(n)=0,其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于n=1,(*)式成立;
对于n\neq1,用算术基本定理把n写成
n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}
于是
\begin{align}\sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\=& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\=&(1-1)^k=0\end{align}



现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢?
f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)
当且仅当
g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{d}{n}\right)f(d)
换而言之,
f = g\ast u\Leftrightarrow g = f\ast\mu

证明:
\begin{align}f=g\ast u \Rightarrow& f\ast \mu=(g\ast u)\ast \mu \\              \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast(u\ast\mu) \\              \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast\iota \\              \Rightarrow& f\ast\mu=g\end{align}
反之
\begin{align}g=f\ast\mu \Rightarrow& g\ast u=(f\ast\mu)\ast u \\                 \Rightarrow& g\ast u=f\ast(\mu\ast u) \\                 \Rightarrow& g\ast u=f\ast\iota \\                 \Rightarrow& g\ast u=f\end{align}

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