Scheme之Y combinator

Y combinator、Y组合子。

λ表达式都是匿名函数，那么丘奇的λ演算如何定义递归呢？递归通常指一个函数直接或间接地调用自身，名字都没有怎样调用？

不动点组合子/Y combinator从理论上解决这个问题。

一个简单的求阶乘的函数(可以写任意的一个递归函数为例)：

(define factorial
  (lambda (n)
    (if (= n 0)
        1
        (* n (factorial (- n 1))))))

既然现在不允许使用factorial变量，就可以设计一个生成factorial的函数make-factorial或get -factorial：简单地用f替代不允许使用的factorial变量

(define make-factorial
  (lambda (f)
    (lambda (n)
      (if (= n 0)
          1
          (* n (f (- n 1)))))))

高阶函数make-factorial希望你找到一个正确的f，它返回一个计算阶乘的函数 factorial。 (define factorial ( make-factorial f))

不考虑推导过程，总之，为了找到f，你千辛万苦地搞出了一个高阶函数Y(下面的是应用序版本)，它不再需要你找那个正确的f，它以make-factorial为输入，神奇地输出factorial。

(define Y

  (lambda (f)

    ((lambda (x) (f (lambda (y) ((x x) y))))

     (lambda (x) (f (lambda (y) ((x x) y)))))))

(define factorial (Y make-factorial))

(factorial 10)

组合子：一个不使用自由变量的lambda表达式。除了形参外不用任何其他的变量。

不动点：对于函数λx.W，如果(W n)等于n，则n称为W的不动点。在计算器上对某个数按cos、cos...最后定在.7390822985224023上。如果(Y n)中n是make-factorial，则factorial是它的不动点。