[LeetCode][172][Factorial Trailing Zeroes]

题目链接：https://leetcode.com/problems/factorial-trailing-zeroes/

题目描述：

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

大概意思就是求N!的末尾0的个数.

这道题一拿过来基本没什么思路，先不想代码，纯粹当做一个数学问题上网搜了一下，很容易得到以下思路：

看从1到n能分解出多少个因子5，因为一个5与一个偶数相乘会有一个0，而偶数的个数是远大于因子5的个数的，所以转换为求因子5的个数。

然后依次看1到n中能被5整除的个数m1,

能被5的平方整除的个数m2，

能被5的立方整除的个数m3，。。。

一直到5的（k+1）次方大于n为止，n!末尾0的个数就等于m1+m2+m3+...+mk.

对于求5的因子的个数，很容易直观的想到第一种解法，就是从1遍历到n的每个数都除以5，可以被5整除的，继续除以5，直到不能整除为止，每整除一次，计数器就加1.代码如下：

先贴第一下自己第一次写下的错误代码：（此段代码别人可忽略）

int trailingZeroes(int n) {
    void division(int m, int c);
    int i,count;
    count = 0;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        if(i%5 == 0){
            count++;
            division(i/5, count);
        }
    }
    
    return count;
}

void division(int m, int c){
    if(m%5 == 0){
        c++;
        division(m/5, c);
    }
}

先不说递归函数里的参数传递的错误，这就是个最直观的思考方式（这里自己想到每个可被5整除的的数继续除以5的时候可以用递归，由于代码写得少，开始没有想到用步长和while控制），下面是把递归函数完成的功能用while循环代替，可是再改成while循环的时候又犯了一个错误，如下：

int trailingZeroes(int n) {
    
    int i,count;
    count = 0;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        while(i%5 == 0){
            count++;
            i /= 5;
        }
    }
    return count;
}

这里的运行时间又超时了，不是由于这个算法本身的复杂度问题（下面再说），而是因为在while循环里修改了索引变量i的值，正确版本为：

int trailingZeroes(int n) {
    int i,temp;
    int count = 0;
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
	    temp = i;
    	while(temp % 5 == 0)
	    {
		    count++;
		    temp /= 5;
	    }
    }
    return temp;

}

现在分析这个代码的复杂度，因为要从1一直遍历到n共n次，每遇到5的倍数还要加上除以5的次数，即本题所得结果，大概是n/4次，所以计算次数大概是1.25n次，在LeetCode的测试数达到近20亿次的时候，显然运行时超时。

如何减少时间复杂度呢？考虑上文分析的5的次数计算方法，其提到说结果为m1+m2+m3+...+mk，其实只要看n里面有几个5，几个25，。。。几个5的k次方即可，所以直接用n依次除以5的各阶次方，把每次得到的加起来即为所求结果。

对于优化版，第一次用的是乘法，代码如下：

int trailingZeroes(int n) {
    int i;
    int count = 0;
    for(i = 5; i < n; i *= 5){
        count += n/i;
    }
    return count;
}

这样，时间复杂度为 log 5 n，时间复杂度就大大减小了，可是运行还是超时了，为什么呢，因为这里要计算到5的k次方，可以是一个很大的数，这样的乘法也是很危险的，对于测试参数达到了20亿，系统就会爆掉。

所以最后通过的版本是采用除法，代码如下：

int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;
    while(n){
        count += n/5;
        n = n/5;    //换成了除法
    }
    return count;
}

此处，172题终于通过~~~

小结：

1.做题的时候可以先用直观的容易想到的方法解题，然后看代码，如果可以容易发觉的错误在运行前就应该找到，然后再根据错误改代码，并优化代码。

2.有些递归操作，是可以用while或者for循环代替的，要先想着用循环语句解决问题。

3.在做一些循环的时候，乘法可能会超出运行时间，可以改成除法。

4.就是对这一类数学题的解决办法了，对于求N!末尾0的个数，可以转换为求因子5的个数。

令1到n中能被5整除的个数m1,能被5的平方整除的个数m2，能被5的立方整除的个数m3，。。。一直到5的（k+1）次方大于n为止，n!末尾0的个数就等于m1+m2+m3+...+mk.