世界的本质是旋转(1)复平面与欧拉公式

最近闲来无事,翻看起旧课本《信号与系统》,不经意间对一些基础问题有了新的理解角度。在上学的时候,我搞不清楚,这傅里叶变换是毛?明明一个时域波形,非要搞出个频率出来,虽然很好用,但是看不见摸不着的,实在让人头大。

1.欧拉公式

ejθ=cosθ+jsinθ

复平面上对角度取复指数,被定义为单位圆上角度为 θ 的向量,亦可理解为单位向量“1”沿逆时针从X+轴旋转 θ 度后的结果。
世界的本质是旋转(1)复平面与欧拉公式_第1张图片
cos θ 是横坐标, sinθ 是纵坐标,通过因子 j 与实坐标组合起来,表示一个确切的位置。
当然,通过一些奇偶函数的特性可知:
ejθ=cosθjsinθ
与上面的公式相加: ejθ+ejθ=2cosθ
也可写成这个有意思的东东:
cosθ=ejθ+ejθ2

2.复平面上的绘图仪

我们人类可以观测的东东,是在特定时刻的一组数值。以一维的信号而言,比如听声音,感觉到的是每个时刻鼓膜的震动强度——当然,是一个随着时间变化的实数。对最简单的一个单频率震动而言,耳朵听到的是一个正弦波:
世界的本质是旋转(1)复平面与欧拉公式_第2张图片
s(t)=cos(2πft)
f=500Hz

 t = 0:0.00025:1-0.00025;
 f = 500;
 s = cos(2*pi*f*t);
 plot(t,s);

上图中,横轴为时刻,纵轴为该时刻的声音强度。由于这个强度是实数,因此,把它放在复平面上,所有时刻的值都在X轴上。现在,在X轴上放置一个水笔,并且用各个时刻的声音强度控制笔的位置,让一张纸向下滚动,我们看到了下图:
世界的本质是旋转(1)复平面与欧拉公式_第3张图片
这个钢笔的X坐标与声强重合:
X(t)=s(t)=cos(2πft)

3. 钢笔拴在两个旋转的棍子上

好了!接着上面说,由于存在第一部分里的公式,我们可以写出:

cos(2πft)=ej2πft+ej2πft2

这是什么?沿着实轴做余弦运动的质点,可以表示成复平面两个转动向量的加成。你看, ej2πft 是逆时针旋转的向量, ej2πft 是顺时针旋转的向量,我们的钢笔拴在两个旋转的棍子上!
世界的本质是旋转(1)复平面与欧拉公式_第4张图片

图中,只画了实轴和时间轴,这里因为图片摆放关系,时间轴和虚轴重合,但虚轴和时间没有关系,不要被误导!

4.下一篇说神马

在这一篇我们只观察了由两根棍子反着转(数学上叫共轭)形成的东东,下一篇,看看多个棍子的旋转会发生神马。

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