整数的拆分2

方法二——母函数

    下面我们从另一个角度，即“母函数”的角度来考虑这个问题。

    所谓母函数，即为关于x的一个多项式G(x)：

    有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

    则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

    我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，.....，i的个数记为ai，

    显然有：ak <= n/k（0<= k <=n）

    因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使它们的综合为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，......，k次等等。把数字i用（x^i）表示，出现k次的数字i用（x^(i*k)）表示，不出现用1表示。

    例如，数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

    则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

    G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

            = g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

            = a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

    上面的表达式中，每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此，该多项式展开后，由于x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的划分，展开后（x^i）项的系数也就是i的所有划分个数，即f(n,n) = an。

    由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x)；剩下的问题就是，我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

    为此，我们首先要做多项式乘法，对于我们来说，并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

    g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

    则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c中。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

//母函数法求整数划分

#define MAXNUM 100            //最高次数
unsigned long a[MAXNUM];
unsigned long b[MAXNUM];
unsigned long c[MAXNUM];    //保存结果

//两个多项式进行乘法，系数分别保存在a和b中，结果保存到c，项的最大次数到MAXNUM
void Poly()
{
    int i;
    int j;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
    {
        for(j = 0; j < MAXNUM - i; j++)    //j < MAXNUM - i,确保i+j不越界
        {
            c[i + j] += a[i] * b[j];
        }
    }
}
//计算前N项的系数，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展开结果
void Init(int m)
{
    int i;
    int j;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(c, 0, sizeof(c));
    //第一个多项式:g(x) = x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n
    for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
    {
        a[i] = 1;
    }
    //for(j = 2; j <= MAXNUM; j++)//只能求f(n,n)
    //通过修改这里，使得可以求f(n,m)，对于任意的正整数n,m都适合
    for(j = 2; j <= m; j++)
    {
        memset(b, 0, sizeof(b));
        //第i个多项式:g(x) = x^0 + x^i + x^(2k) + ...
        for(i = 0; i <= MAXNUM; i += j)
        {
            b[i] = 1;
        }
        //多项式相乘:c = a * b
        Poly();    
        //将结果c保存到a中
        memcpy(a, c, sizeof(c));
    }
}

//母函数方法得出整数划分相应的划分数目
//n:整数
//m:划分方法
void CalPrint(int n, int m)
{
    if(n < m)
    {
        Init(n);
        //由于n小于m，此时按n == m打印
        printf("由于n小于m，所有(%d,%d) = (%d,%d) = %ld\n", n, m, n, n, c[n]);
    }
    else
    {
        
        Init(m);
        printf("整数划分(%d,%d)方法数目f(%d,%d) = %ld\n", n, m, n, m, c[n]);
    }
}

int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    int m;
    printf("请输入要划分的整数:");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入划分数:");
    scanf("%d", &m);
    if(n <= 0) 
    {
        fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数.n");
        return -1;
    }
    if(m <= 0)
    {
        fprintf(stderr, "输入的划分数不能为非正数.n");
        return -1;
    }
    printf("母函数法");
    CalPrint(n,m);
 
    return 0;
}

改进：现在要求整数只能拆分成1,2,4,10,20,40,100,200,400,1000,2000这11个数

母函数法求解整数划分

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

//母函数法求整数划分

#define MAXNUM 6001            //最高次数
unsigned long a[MAXNUM];
unsigned long b[MAXNUM];
unsigned long c[MAXNUM];    //保存结果

int d[] = {1,2,4,10,20,40,100,200,400,1000,2000} ;
//两个多项式进行乘法，系数分别保存在a和b中，结果保存到c，项的最大次数到MAXNUM
void Poly()
{
    int i;
    int j;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
    {
        for(j = 0; j < MAXNUM - i; j++)    //j < MAXNUM - i,确保i+j不越界
        {
            c[i + j] += a[i] * b[j];
        }
    }
}
//计算前N项的系数，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展开结果
void Init(int m)
{
    int i;
    int j;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(c, 0, sizeof(c));
    //第一个多项式:g(x) = x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n
    for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
    {
        a[i] = 1;
    }
    //for(j = 2; j <= MAXNUM; j++)//只能求f(n,n)
    //通过修改这里，使得可以求f(n,m)，对于任意的正整数n,m都适合
    for(j = 1; j <= m; j++)
    {
        memset(b, 0, sizeof(b));
        //第i个多项式:g(x) = x^0 + x^i + x^(2k) + ...
        for(i = 0; i <= MAXNUM; i += d[j])
        {
            b[i] = 1;
        }
        //多项式相乘:c = a * b
        Poly();    
        //将结果c保存到a中
        memcpy(a, c, sizeof(c));
    }
}

int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
	int m = 10 ;
    printf("请输入要划分的整数:");
    scanf("%d", &n);
    if(n <= 0) 
    {
        fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数\n");
        return -1;
    }
	Init(m);
	printf("母函数法");
    printf("整数划分(%d)方法数目为%ld\n",n,c[n]);
    return 0;
}