[置顶] 组合数学-色数

今天学习了与图有关的一些基本数值，其中最为著名的是与四色问题有关的色数。四色问题可以描述为：每一个平面图是四可着色的。

1.色数
下面的问题只考虑简单图，因为连接一对不同的顶点，无论出现一条以上的边还是圈，对所考虑的这类问题没有实质性影响。
设 G=(V,E) 是一个图，G的顶点着色就是对G的每一个顶点指定一个颜色，使得相邻顶点有不同的颜色。如果这些颜色选自于一个有k种颜色的集合，那么这样的顶点着色称为 k 着色，而不管k种颜色是否都用。如果G是一个k着色，那么称G是k可着色的。使得G是k可着色的最小k称为G的色数，用 χ(G) 表示。这些颜色本身是什么并不重要，可以把颜色定义为红黄蓝，也可以用数字1234等表示。且同构图有相同的色数。
将没有任何边的图定义为零图。n阶零图用 Nn 表示。零图并不就是空图，因为它可能有顶点，而空图是没有顶点的图。
定理 设G是n阶图，其中 n≥1 ,则

1≤χ(G)≤n

且 χ(G)=n 当且仅当G是完全图， χ(G)=1 当且仅当G是零图。
推论：设G是图，H是G的子图，那么 χ(G)≥χ(H) 。如果G有等于p阶完全图 Kp 的子图，则 χ(G)≥p ，因为 χ(G)≥χ(Kp)=p

下面图能更好的理解上述定理和推论：

因为G为上图。因为图G有一个等同于 K3 的子图，故G的色数至少为3。
描述色数的另一个方式是：色数 χ(G) 是使得G的顶点可划分为k个子集且每个子集导出一个零图的最小整数k。如图中的顶点可划分如图等形式：

色划分为{A，C}，{B，D}，{E}。我们可以得到色数的一个下界。
推论：设G={V，E}是n阶图，q是G的等于零图 Nq 的导出子图的最大阶数，则 χ(G)≥⌈nq⌉

证明：设 χ(G)=k ,令 V1,V2,V3...,Vk 为为G的一个色划分， Vi 表示指定颜色为i（i=1,2,3,4,….k）的所有顶点的子集。则对于每一个i有 |Vi|≤q ,而且有:

n=|V|=∑i=1k|Vi|≤∑i=1kq=kq

χ(G)=k≥nq

所以说对于之前的例子，对该图验证可得导出零子图的最大阶数2（每三个顶点中，至少有两个相邻的顶点），因此也有用上面的推论也能得出下界3。