[FractionalProgramming]分数规划

一般形式

Minimizeλ=f(x)=a(x)b(x)
s.t.b(x)>0,x∈S

其中 S是解向量空间，a(x),b(x) 是连续的实值函数

解法

设 λ∗=f(x∗) 为该规划的最优解，有

λ∗=f(x∗)=a(x∗)b(x∗)
0=a(x∗)−λ∗b(x∗)
令 g(λ)=min { a(x)−λb(x) }

函数 g 有如下性质

性质一

g(λ) 是严格递减函数，即对于 λ1<λ2,g(λ1)>g(λ2)
证明：设
g(λ1)=a(x1)−λ1b(x1)
则 >a(x1)−λ2b(x1)
≥a(x2)−λ2b(x2)=g(λ2)

性质二（Dinkelbach定理）

λ∗ 为原规划的最优解，当且仅当 g(λ∗)=0

那么解法就很显然了
首先我们确定一个答案区间，然后二分答案 λ 即可

以上分析是针对最小化目标函数的规划，实际上对于最大化目标函数一样适用