君と彼女の恋

题意

找到一个非空的非负整数序列 S ，满足S的所有元素之和为 n ，而且每个元素对 m 取模得到的结果都不相同，要你求这种序列的个数。

n≤1018,m≤100

分析

看到数据范围，我们可以围绕 m 下手。分析发现，我们可以把序列中的每个数表示成 ki∗m＋ai ,若 sum=∑i=1cntai,(n−sum)≡0 (mod m ), 则我们可以将 n−summ 个m分配到这 cnt 个数上，使它们的和为 n 。到这里解法就比较显然了。 f[i][j] 表示序列里有 j 个数、它们mod m 下的数的和为 i 的方案数，这样只用枚举最多 m 个数， (m∗m/2)∗m 个状态就可以求出 f 数组。对于每个满足 (n−i)≡0 (mod m )的 i ，设 k=n−im ,它对答案的贡献为 f[i][j]∗Cj−1k+j−1∗j! ， j−1 非常小。

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long LL;
const int N = 103;
const LL P = 905229641;
LL fac[N],f[N * N / 2][N],inv[N];
int m;
LL n,ans;

LL fast(LL ds,LL zs) {
    if (zs == 1) return ds;
    LL re = fast(ds,zs / 2);
    re = re * re % P;
    if (zs & 1) re = re * ds % P;
    return re;
}

LL c(LL N,LL M) {
    if (M == 0) return 1;
    LL re = 1;
    for (LL i = N - M + 1;i <= N;i ++) re = re * (i % P) % P;
    return re * inv[M] % P;
}

int main() {
    f[0][0] = f[0][1] = 1;
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    for (int k = 0;k < m - 1;k ++) {
        int r = k * (k + 1) / 2;
        for (int i = r;i >= 0;i --) {
            for (int j = k + 1;j >= 0;j --) if (f[i][j]) {
                f[i + k + 1][j + 1] = (f[i + k + 1][j + 1] + f[i][j]) % P;
            }
        }
    }
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= m;i ++) fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
    inv[m] = fast(fac[m],P - 2);
    for (int i = m - 1;i >= 0;i --) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % P;
    int r = m * (m - 1) / 2;
    for (LL i = 0;i <= r;i ++) if ((n - i) % m == 0) {
        LL cnt = (n - i) / m;
        for (LL j = 1;j <= m;j ++) if (f[i][j]) {
            ans = (ans + f[i][j] * c(cnt + j - 1,j - 1) % P * fac[j] % P) % P;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
}