Leetcode - Climbing Stairs

Question

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

JavaCode

//版本一: 寻找递推公式，使用for循环统计不同的走法
public int climbStairs(int n) {
    if(n < 3) return n;

    int fun = 0;
    int fun1 = 2;
    int fun2 = 1;
    for(int i = 3; i <= n; ++i) {
        fun = fun1 + fun2;//递推公式: f(n)=f(n-1)+f(n-2)
        fun2 = fun1;//循环转移关系: f(n-2) <-- f(n-1)
        fun1 = fun;//循环转移关系: f(n-1) <-- f(n)
    }
    return fun;
}

//版本二: 寻找递推公式，使用递归统计不同的走法
public int climbStairs(int n) {
    if(n < 3) return n;
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
}

//版本三: 递归构造二叉树,叶子节点的个数即为不同的走法
public int climbStairs(int n) {
    return grow(n, 0);
}

private int grow(int n, int sum) {
    //如果剩余2阶以上，继续生长子节点
    if(n - 2 > 0) 
        sum = grow(n-2, sum);

    //如果剩余1阶以上，继续生长子节点
    if(n - 1 > 0) 
        sum = grow(n-1, sum);

    //如果恰好剩余2阶或1阶，则到达叶子节点
    if(n < 3) 
        sum++;

    return sum;
}

说明

• 本题的抽象数学模型非常类似于斐波那契数列，如果n表示总的阶梯数，f(n)表示不同的走法，则有通项公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)。这个公式可以这么理解，当走到第n-1阶时，再多走1阶就到了第n阶，所以f(n-1)构成了f(n)的一部分，类似的，当走到第n-2阶时，再一次走2阶（这一步只能这么走，如果分两次走，则会和f(n-1)的情况出现相同的走法），所以f(n-2)构成了f(n)的另一部分，又因为每一步只能走1阶或2阶，所以f(n)只能由这两种走法衍生出来。那么得到f(n)只与前两项相关，从而可以用循环替代递归，分别对应版本一和版本二的解法。

• 版本三的思路是我最开始想到的方法，因为直观地来理解，除最后一步外每一步都有两种走法，所以可以用二叉树描述爬楼梯的过程。从第1阶开始，每走一步就生长出两个子节点，左子节点表示当前走1阶，右子节点表示当前走2阶，如此递归循环下去，最后一步可能是走1阶也可能是走2阶，当到达楼梯顶端时则得到叶子节点，且每个叶子节点代表一种走法，统计整棵树的叶子节点个数就得到了所有的不同走法。

• 我们可以分析一下时间复杂度，版本一是O(n)，版本二和三都约是O(2^n)，由于使用递归会存在大量的重复计算，所以版本二和三的代码在n取较大值时运行会超时。实际上，还有一种时间复杂度为O(logn)的解法，利用了矩阵的幂和分治法的思想，这里有一篇博文可以参考下。