动态规划学习系列——数位DP（初识）

引入

第一次知道数位DP这东西，是在大二新手赛，那时有一道“Cutting Trees”的题目，现在来看就是水题一道，可以用多种方法水过，可惜当时愣是没做出来，其他水题也没做出来，于是被大一虐成翔。抱着学习的态度，我们再来看看这道题。

题述

多组询问，每组询问A和B，为[A,B]范围内，有多少个数是由一个上升序列组成，例如“1379”,“1234”等等（0 <= A , B <= 10^9）。

深搜解法

因为题目数据挺小的，虽说直接for循环暴力找肯定是超时的，但是深搜就不一样了，这题用深搜来做的话，可以说直观又简单：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a,b,ans;

void dfs(int tmp)       //深搜
{
    if(tmp>b)
        return;
    if(tmp>=a) 
        ans++;
    for(int i=tmp%10+1;i<=9;i++)   
        dfs(tmp*10+i);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d %d",&a,&b))
    {
        ans=0;
        dfs(0);
        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}

时间复杂度应该还是挺可观的，至少这个代码是可以保证AC的~

动规解法

然后进入我们今天的正题：数位DP
题目是要求区间【A，B】里面的由一个上升序列组成的数的个数（下面简称上升数）
于是我尝试用之前学过的动态规划的思路去思考这个问题，假设一个状态dp【i，j】表示最高位是 j 的 i 位数中上升数的个数，那么显然，dp【1，j】= 1 ，我们可以递推出其他数据：dp【i，j】= ∑ dp【i - 1，k】( i < k <= 9），于是有代码：

for(int i=1;i<=9;i++)
    dp[1][i]=1;
for(int i=2;i<=9;i++)
    for(int j=1;j<=9;j++)
        for(int k=j+1;k<=9;k++)
            dp[i][j]+=dp[i-1][k];

如果题目是要求统计位数一定的上升数的个数，那么我们到这里就只剩下输出结果而已，可惜没那么简单，我们的最终结果不仅与位数有关，还跟范围有关，到这儿只是预处理而已
为了解决题述问题，我们需要把问题转化成求【0，B】和【0，A-1】上升数数量相减，那么我们只要解决【0，B】范围内的上升数数量就可以了，我们分两种情况来考虑：
1）位数小于B：直接套用预处理的数据就可以了

for(int i=1;i<cnt;i++)          //cnt为B的位数
    for(int j=1;j<=9;j++)
        res+=dp[i][j];

2）位数等于B：好像很难的样子~~
事实证明，这一部分真的有点难，想了好久依旧得不到一个比较通用的解法，于是看了看当时TA给的题解，大概是这样的思路：
首先，你得找到一个数index，这个index满足B的前index位为上升序列。然后从第 1 位到第index位，寻找上升数，公式如下：
ans = ∑【1~index】∑【b[i-1]+1~b[i]-1】dp【cnt-i+1，j】（有点丑对不住了，不会用公式编辑器）
写成代码：

res=0;
for(int i=1;i<=index;i++)
    for(int j=num[i-1]+1;j<num[i];j++)   //num数组保存数对应位的数字
        res+=dp[cnt-i+1][j];

然后我们再来考虑，为什么是加法是到index而不是到cnt呢？
因为比原数大的上升数已经不符合条件。
最后其实算出来的是【1，B-1】中的上升数，如果需要得到【0，B】，加上头尾即可，下面是完整代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a,b,ans,dp[15][10];
int cnt,num[10],index;

void fun(int n){        //获取n每一位数字
    cnt=0;
    while(n)
    {
        num[++cnt]=n%10;
        n/=10;
    }
    for(int i=1;i<=cnt/2;i++)
        swap(num[i],num[cnt-i+1]);

    index=1;
    while(index+1<=cnt&&num[index]<num[index+1])
        index++;
}

int sol(int n)
{
    int res=0;
    fun(n);
    for(int i=1;i<cnt;i++)
        for(int j=1;j<=9;j++)
            res+=dp[i][j];
    for(int i=1;i<=index;i++)
        for(int j=num[i-1]+1;j<num[i];j++)
            res+=dp[cnt-i+1][j];
    return res;
}

int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=9;i++)
        dp[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=9;i++)
        for(int j=1;j<=9;j++)
            for(int k=j+1;k<=9;k++)
                dp[i][j]+=dp[i-1][k];

    while(~scanf("%d %d",&a,&b))
    {   
        int ans1=sol(a),ans2=sol(b+1);
        printf("%d %d %d\n",ans1,ans2,ans2-ans1);
    }

    return 0;
}

以上就是这道题本人的一点看法，欢迎各位大牛指教~