动态规划学习系列——区间DP（一）

学习一个算法，还是从题目开始比较好，我们就从一道经典例题开始：
wikioi 1048 石子归并
Description
有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。
Input Description
第一行一个整数n（n<=100）
第二行n个整数w1,w2…wn (wi <= 100)
Output Description
一个整数表示最小合并代价
Sample Input
4
4 1 1 4
Sample Output
18

DP思路：
拿到题目的时候，我首先想到的是“合并果子”那道题，做法大概是建堆+贪心，可是仔细看一下，两道题目却有很大不同，这道题合并的时候需要两石子相邻，明显贪心已经做不了了，所以我们用动规来试试看。区间型的动规，就是与区间有关的DP，我们需要考虑区间的一些特点来解决：
不妨用dp[i][j]表示合并 i 到 j 这一区间的石子所产生的消耗，那我们最终的结果就是dp[1][n]，我们怎么才能得到最重的dp[1][n]呢？
状态转移方程是：dp[i][j]=min(dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i:j])
我们需要从两个石子开始合并，最终变成 n 个石子开始合并，代码如下：

for(int len=2;len<=n;len++)
{
    for (int i=1;i<=n-len+1;i++)
    {
        int j=i+len-1;
        for (int k=i;k<j;k++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
    }
}

我们事先需要预处理一下，获得sum数组（省去了一个二重循环）：

for (int i=1;i<=n;i++)
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];

完整代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 1005

using namespace std;

int n,a[N],sum[N],dp[N][N];

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(dp,INF,sizeof(dp));
        for (int i=1;i<=n;i++)
            dp[i][i]=0;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }

        for(int len=2;len<=n;len++)
        {
            for (int i=1;i<=n-len+1;i++)
            {
                int j=i+len-1;
                for (int k=i;k<j;k++)
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }

    return 0;
}

总结
区间型动态规划是我个人感觉动态规划类型里面最好理解的一种，小试牛刀了，还是得好好学一下的。