算法_5：算法基础

循环不变式

• 初始化
• 保持
• 终止

分析算法

//插入排序……………………代价……………… 次数
for j=2 to A.length………..c1………………..n
key=A[j]……………………..c2……………….n-1
i=j-1……………………………c4……………….n-1

while i>0 and A[i]>key….c5…………….. ∑nj=2tj
A[i+1]=A[i]………………….c6…………… ∑nj=2(tj−1)
i=i-1……………………………..c7………….. ∑nj=2(tj−1)
A[i+1]=key……………………….c8……………n-1

T(n)=c1n+c2(n)+c4(n−1)+c5∑nj=2tj+c6∑nj=2(tj−1)+c7∑nj=2(tj−1)+c8(n−1)

• 最佳情况
  T(n)=c1n+c2(n−1)+c4(n−1)+c5(n−1)+c8(n−1)=(c1+c2+c4+c5+c8)n−(c2+c4+c5+c8)

• 最差情况
  二次函数

增长的量级

算法设计

增量方法

• 插入排序，增量方法，对于A[1….j-1]后，将单个元素A[j]插入，生成A[j]

分治法

• 分治模式

分解：原问题分解为子问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例
解决：解决子问题
合并：子问题合并为原问题的解

归并排序

• 合并子程序，复杂度: O(n), n=r-q+1

  //MERGE(A,p,q,r):子数组A[p…q]和A[q+1…r]
  n1=q-p+1
  n2=r-q
  let L[1…n1+1] 和 R[1…n2+1]为新的数组
  for i= 1 to n1
  ………L[i]=A[p+i-1]
  for i=1 to n2
  ……..R[j]=A[q+j]
  L[n1+1]= ∞
  R[n2+1]= ∞
  i=1
  j=1
  for k=p to r
  ……if L[i]<=R[j]
  ……….A[k]=L[i]
  ……….i=i+1
  ……else A[k]=R[j]
  ………..j=j+1

• MERGE：归并排序: 分解成两个数组，个数是， ⌈n/2⌉ 和 ⌊n/2⌋
  MERGE-SORT(A, p, r )
  if p < r
  ……..q= ⌊(p+r)/2⌋
  ……..MERGER-SORT(A, p, q)
  ……..MERGER-SORT(A,q+1,r)
  ……..MERGE(A, p, q, r)

分治算法分析

• 原问题，分解为a个子问题，每个子问题是原问题的1\b, 如果分解为子问题需要时间D(n), 合并子问题需要时间C(n)
  

  T(n)={O(1)................若n<=caT(n/b)+D(n)+C(n)......其他

• 归并排序
  

  T(n)={c................若n=12T(n/2)+O(n)......若n>1

• 递归树求解：cn lgn + cn
  2i∗c=c∗n=>i=lgn层
  因为：lg1=0
  所以：lgn+1

函数的增长