SVD矩阵分解考虑时间因素

推荐系统种矩阵分解有着不错的效果，其中SVD（Singular Value Decomposition）奇异值矩阵分解也是常用的一种方法，通过对原始矩阵进行SVD分解后，可以将原始高纬数据映射到低维空间，在降维过程中，其关注的是如何去除噪声和保留更多有效信息。

其优点：简化数据，去除噪声，提高算法结果
缺点：分解过程和实际业务执行过程匹配不上
适用数据类型：数值型

SVD的原理文章有很多，这里主要谈加入时间因素的矩阵如何做分解。以我正在研究的云平台下虚拟机性能预测为背景，利用TSVD(time)预测除下一时刻虚拟机性能的实用情况。这里性能是指：CPU、内存、I/O负载和带宽。

步骤如下：

● 建立负载信息矩阵S
考虑四种资源数据：CPU、内存、I/O负载和带宽，保存过去一段时间T的四种资源数据，建立负载信息矩阵S，其中行表示每个时刻（或每个小周期）四种资源的监测量，列表示四种资源在时间T内的使用情况。

● SVD分解
然后，根据SVD分解原理，将负载信息矩阵S分解为U、E、V。其中U为时间信息矩阵，E为奇异值对角矩阵(矩阵S和其转置乘积的特征值的平方根)，V为资源信息矩阵。（U和V都是正交矩阵，E的对角元素从大到小排列）

● 时间向量相似性计算
假设当前时刻为t0，要预测下一时刻tf的负载。方法是在U中，找t0之前的所有时刻中找和t0最相似的时间向量(行向量)tc，通过点积运算(由于)找最相似，由于U是正交阵，故t0和tc的模为1，故只需找夹角即可，越小，相似度越高。

● 将来时刻tf的负载预测

tc找到后，tc的下一刻tc-1和当前时刻ti是影响tf时刻的关键向量。取两者线性组合。（本质就是认为将来时刻的负载和当前和历史最相似向量两者有关。）

● 奇异值对角矩阵E重要特征选取
并不是所有的奇异值都可以表示数据的重要特征，对于排名靠后的奇异值要剔除（干扰因子），本文只删除了最后一个。其实，常用方法是选取矩阵E中总能量的90%的信息。
总能量：所有奇异值平方和
90%信息：从大往后依次取奇异值平方相加，直到第一次大于90%为止。则取前几个奇异值。
● 下一时刻预测出的负载使用量为：

注意：V’是根据E’的变化而变化的，最终目的是保证矩阵大小和原始一样。
SVD也是通过将|S-Sf|作为目标函数，通过SGD等方法求得U(tf)、E、V。
这篇论文作为一种性能预测的思路，其实挺简单的，而且实现起来也很容易。但是它也只是在单个虚拟机上进行预测，没有考虑分布式的需求。