挑战程序设计竞赛 划分数,贝尔数,斯特灵数

斯特灵数：把 n 个数划分为恰好 k 个非空集合的个数，记为 S(n,k) 。且有： S(n,1)=S(n,n)=1 。
有递推关系式:

S(n+1,k)=S(n,k−1)+kS(n,k−1)

贝儿数:把 n 个数划分为非空集合的所有划分数。有：

Bn=∑i=0nS(n,i)

贝尔数的递推公式：

Bn=∑k=0n(nk)Bk

书上的划分数：书上求的是：把 n 个相同的数划分为不超过 m 个集合的方法总数。由于这 n 个数是相同的，就不能算作 ∑ki=0S(n,i) .书上给了这样一个dp的转移方程（定义 dp[i][j] 为j个数的i划分）：

dp[i][j]=dp[i][j−i]+dp[i−1][j]

严重显然正确，但是至今未明白原因。
附上书上代码:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 1009, INF = 0x3fffffff;
int n, m, dp[M][M];

int main(void) {
    while(cin >> n >> m) {
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 0; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = (j >= i ? dp[i][j - i] : 0) + dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return 0;
}