【BZOJ 1023】 [SHOI2008]cactus仙人掌图

1023: [SHOI2008]cactus仙人掌图

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Description

如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路（simple cycle）里，我们就称这张图为仙人图（cactus）。所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路。

 

举例来说，上面的第一个例子是一张仙人图，而第二个不是——注意到它有三条简单回路：（4，3，2，1，6，5，4）、（7，8，9，10，2，3，7）以及（4，3，7，8，9，10，2，1，6，5，4），而（2，3）同时出现在前两个的简单回路里。另外，第三张图也不是仙人图，因为它并不是连通图。显然，仙人图上的每条边，或者是这张仙人图的桥（bridge），或者在且仅在一个简单回路里，两者必居其一。定义在图上两点之间的距离为这两点之间最短路径的距离。定义一个图的直径为这张图相距最远的两个点的距离。现在我们假定仙人图的每条边的权值都是1，你的任务是求出给定的仙人图的直径。

Input

输入的第一行包括两个整数n和m（1≤n≤50000以及0≤m≤10000）。其中n代表顶点个数，我们约定图中的顶点将从1到n编号。接下来一共有m行。代表m条路径。每行的开始有一个整数k（2≤k≤1000），代表在这条路径上的顶点个数。接下来是k个1到n之间的整数，分别对应了一个顶点，相邻的顶点表示存在一条连接这两个顶点的边。一条路径上可能通过一个顶点好几次，比如对于第一个样例，第一条路径从3经过8，又从8返回到了3，但是我们保证所有的边都会出现在某条路径上，而且不会重复出现在两条路径上，或者在一条路径上出现两次。

Output

只需输出一个数，这个数表示仙人图的直径长度。

Sample Input

15 3
9 1 2 3 4 5 6 7 8 3
7 2 9 10 11 12 13 10
5 2 14 9 15 10 8
10 1
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sample Output

9

HINT

对第一个样例的说明：如图，6号点和12号点的最短路径长度为8，所以这张图的直径为8。

 

【注意】使用Pascal语言的选手请注意：你的程序在处理大数据的时候可能会出现栈溢出。如果需要调整栈空间的大小，可以在程序的开头填加一句：{$M 5000000}，其中5000000即指代栈空间的大小，请根据自己的程序选择适当的数值。

这道题还是看着lyd代码写的。

仙人掌可以看做是多个基环树连在一起了。

这道题要用到tarjan找连通分量的方法，把求直径套在tarjan中来做。

对于一个环上第一次遍历到的点我们称作最高点。

f[x]表示以x为根的子树的最长链长度

因为在仙人掌中一个边不是割边就是环上的边。

分两种情况考虑：

（1）dfn[x]<low[y]。

那么在用f[y]更新f[x]之前，先用f[x]+f[y]+1(此时f[y]还没有更新x，f[x]必是用别的儿子更新的)更新答案，然后用f[y]+1更新f[x]

（2）dfn[x]>=low[y]

先不要管

当把x的所有儿子都算完之后，我们开始处理环：

如果x不是这个环上的最高点，我们不管，只管x是最高点的（x是不是最高点的环说明这个环上还有没有处理完的点）。

判断x在环上并且是这个环的最高点：

fa[y]!=x,dfn[x]<dfn[y]。

然后拆环为链，用队列优化dp求出最长链更新答案，不要忘了最后用环上的点更新f[x]，因为在之前说过不是割边就没有更新！

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define M 200005
using namespace std;
int num=0,ans=0,n,m,tot,h[M],f[M],low[M],dfn[M],q[M],a[M],fa[M];
struct edge
{
	int y,ne;
}e[M];
void Addedge(int x,int y)
{
	tot++;
	e[tot].y=y;
	e[tot].ne=h[x];
	h[x]=tot;
}
void dp(int x,int y)
{
	int m=0;
	while (y!=x)
	{
		a[++m]=f[y];
		y=fa[y];
	}
	a[++m]=f[x];
	for (int i=1;i<m;i++)
		a[m+i]=a[i];
	int l,r;
	int p=m/2;
	q[l=r=1]=1;
	for (int i=2;i<=m+p;i++)
	{
		while (l<=r&&i-q[l]>p)
			l++;
		ans=max(ans,a[q[l]]+a[i]+i-q[l]);
		while (l<=r&&a[q[r]]+i-q[r]<=a[i])
			r--;
		q[++r]=i;
	}
	for (int i=1;i<m;i++)
		f[x]=max(f[x],a[i]+min(i,m-i));
}
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++num;
	for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
		if (fa[x]!=e[i].y)
		{
			if (!dfn[e[i].y])
			{
				int y=e[i].y;
				fa[y]=x;
				tarjan(y);
				low[x]=min(low[x],low[y]);
				if (dfn[x]<low[y])
				{
					ans=max(ans,f[x]+f[y]+1);
					f[x]=max(f[x],f[y]+1);
				}
			}
	        else low[x]=min(low[x],dfn[e[i].y]);
		}
	for (int i=h[x];i;i=e[i].ne)
		if (fa[e[i].y]!=x&&dfn[x]<dfn[e[i].y])
			dp(x,e[i].y);
}
int main()
{
        scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int k,x,y;
		scanf("%d%d",&k,&x);
		for (int j=1;j<k;j++)
		{
			scanf("%d",&y);
			Addedge(x,y),Addedge(y,x);
			x=y;
		}
	}
	tarjan(1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

感悟：

1.对tarjan求连通分量有了更深入的理解~点双连通分量相当于找环，通过儿子的low来判断当前点是否是割点。

2.lyd博客