【BZOJ 1101】 [POI2007]Zap

1101: [POI2007]Zap

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Description

FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2

HINT

对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

莫比乌斯函数。

PoPoQQQ课件

贾志鹏线性筛

先把题目转化为求x<=a/d,y<=b/d且gcd(x,y)=1的(x,y)有多少对。

而莫比乌斯函数有一个性质是

这里的n=1与gcd(x,y)=1相似。

（下面引用自 iwtwiioi）

如果直接枚举d来做会TLE，但是我们发现a'/d的值在d等于好多值得时候都是相同的。

比如a'=100,那么d在[34,50]之间a'/d都是2。

那么我们可以把连续的一段d一起来算（分块）：

设a'/d=x，那么最后一个a'/d=x的d=a'/x，所以这段连续的区间就是[d,a'/(a'/d)]

结合b'/d，取个min就可以了。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#define LL long long
using namespace std;
int check[50005],mu[50005],p[50005],sum[50005];
void Getmobius()
{
	memset(check,0,sizeof(check));
	mu[1]=1;
	int tot=0;
	for (int i=2;i<=50000;i++)
	{
		if (!check[i])
		{
			p[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for (int j=1;j<=tot;j++)
		{
			if (i*p[j]>50000) break;
			check[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0)
			{
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			else mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	sum[0]=0;
	for (int i=1;i<=50000;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int main()
{
        Getmobius();
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		int a,b,D;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&D);
		int pos;
		a/=D,b/=D;
		int x=min(a,b);
		LL ans=0LL;
		for (int d=1;d<=x;d=pos+1)
		{
			pos=min(a/(a/d),b/(b/d));
			ans+=(LL)(sum[pos]-sum[d-1])*(a/d)*(b/d);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

感悟：

1.RE是因为数组开小。。

2.这道题的关键在于：把如果gcd(x,y)=1对答案贡献为1转化为；

以及分块处理加速计算

3.莫比乌斯函数的求法就是线性筛，保证每个数只被算过一次，复杂度O(n)