算法之强连通分支

深度优先搜索有一种经典的应用：把一个有向图分解为各强连通分支。很多有关有向图的算法都是从这种步骤开始的。（算法导论P338，觉得简洁而精妙，分享下）

STRONGLY-CONNECTED-COMPONENTS(G)

1 call DFS(G) to compute finishing times f[u] for each vertex u

2 compute GT

      3 call DFS(GT). but in the main loop of DFS, consider the vertices in order of decreasing f[u](as computed in line 1)

     4 output the vertices of each tree in the depth-first forest formed in line3 as a separate strongly connected component

DFS（G ）：深度遍历，GT为图G的转置，f[u]为第二时间戳，深度遍历时当顶点u第一次被发现时，记录下第一时间戳d[u]，当检查u的邻接表结束时，记录第二时间戳，如图所示13/14中13为d[u[,14为f[u].

引理 ：设C和C'为有向图G=（V，E）中的两个不同的强连通分支。假设有一条边（u，v）属于E，其中u属于C，v属于C'，则f（C)>f（C'）

推论： 设C和C'为有向图G=（V，E）中的两个不同的强连通分支，假设存在着一条边(u,v)属于ET，其中u属于C，v属于C'，则f（C)<f(C')

要理解为什么STRONGLY-CONNECTED-COMPONENTS(G)可以正常工作呢？首先对于一个强连通分支C，假设它的完成时间f(C)是最大的。搜索从某个顶点x属于C开始，访问C中的所有的顶点，那么根据推论，在GT中，没有从C到任何其他连通分支的边（应为f（C)最大），因而从x开始的搜索不会访问任何其他分支中的顶点。接着依次类推，就得到全部强连通分支。