路径还原

最短路中的路径还原问题:

最早接触这个问题是在自己学习最短路问题的时候，那个时候学了几个最短路以为自己很牛B了，也是稍微了解了一

下如何在DK最短路算法中还原路径，可是当今天遇到一个BFS需要用到路径还原，真的是绞尽了脑汁2个小时多才把

AC代码给写了出来，这时才认识到自己是有多么的自负，所以决定写下这篇BLOG以供大家学习，也算是自己对知识

点的一个总结吧！

路径还原一直也是最短路问题中的一个常见问题，所以由于某些题的需要，我将在这篇文章中为童鞋们详细讲解这

个问题。

首先，路径还原的意思就是将最短路那条路径记录下来以供使用（如输出最短路的路径）。

这里我将这个问题分的更细，将为大家讲解不同的最短路解法的路径还原方法。我将它们总结为了下面3种：

①最短路算法的路径还原

②DFS求最短路的路径还原

③BFS求最短路的路径还原

另外还会在最后补充路径还原时，如果还需要记录下每次状态转移时的动作时该怎么做以及当点是由（x,y）唯一确定，而不是由单一的编号确定时该怎么记录呢？（看不懂请往后看）

最短路的问题一般都是用这3种方法来求解，其中①仅适用于图的最短路，而DFS和BFS却能求解各种不同形式的最

优解，我们也可以形象的理解为求最短路。下面依次讲解这几个问题：

①最短路算法的路径还原：

理解了最短路算法的童鞋应该明白，这几个算法都是大同小异，其实质上都是贪心的结果，所以每一次松弛操作都是

一次贪心的操作。

在这几个算法中，我们普遍使用辅助数组d[i]来记录i点当前已知（或目前可以求出）的最短路。所以每进行一次松弛

操作都会使d[i]的数值更加接近结果，直到所有松弛操作完成便是最终所求结果，那么我们可以这样想，我们可以使

用另一个辅助数组prv[]来记录当前的最短路路径，具体实现为prv[i]=j代表了i是从j走来的，即当前i的最短路是通过从j

走到i得到的，我们把j叫做i的前驱节点，如此，随着松弛操作的最终完成（也就是最终的最短路的解出），prv[i]=j便

代表着i的真正的最短路是通过从j走到i得到的。另外只要将prv[起点]的值初始化为一个特定值，这里我们用-1就可以

很好的将这条路径输出来了。

vector<int> path;
int t = end;     //这里end代表终点
for (; t != -1; t = prv[t])       //每次将当前的位置加入path直到到尽头-1，且-1不会被加入path
	path.push_back(t);
reverse(path.begin(), path.end());   //由于path是按从终点到起点的顺序加入的，所以需要反转

是的，仅需要再通过这简短的几行代码便可以顺利的将最短路径存于path之中了，再利用时可以方便地被使用。如果

觉得这几行代码难以理解的童鞋们可以看如下图片：

看完这幅图估计大家也都能理解了，最短路算法的路径还原就讲到这里。

②DFS求最短路的路径还原

DFS中路径还原是比较麻烦的，到现在我还没有想出有什么好的解决方法，只有特定情况的题我才会还原路径，本来

想上网查查然后给大家分享的，可是一时间也找不到。。。只怪本人能力有限，以后想到了好的方法一定给补上，请

谅解。

只有当DFS搜到的第一条满足条件的路便是所求答案的解时才能直接记录路径（因为找到之后不会再会被其他的走法

覆盖）。

这里我直接给出一个例题，因为也不难，所以也不做过多解释，请大家自行画图（DFS解答树）体会体会。下面给出

这篇文章的链接：点击打开链接

③BFS求最短路的路径还原

BFS与DFS差别最大的一点便是在BFS中每个点（或者说每个状态）都只会入一次队，所以我们仍然可以仿效第①类

的做法，用一个辅助数组prv[]来记录路径，并且prv[i]的值被确定之后就不存在再次被覆盖的可能，因为每个点只会入

一次队嘛，正好我们记录的操作在入队的时候进行。之后的做法就和第①类没有区别了。

然后谈一谈我们在上面遗留的问题，路径还原时，如果还需要记录下每次状态转移时的动作时该怎么做，我的语言表

达能力也不算很强，所以也猜到了很多人会不理解这句话。

举个通俗的例子，假如在移动时（即状态转移时）你可以跳也可以走也可以用跑的，这3种移动法就可以当成是3种不

同的动作，不同的动作会有不同的影响，我们需要记录下的不仅仅是最优解时经过了哪些地点，还要记下每次移动分

别是通过什么样的动作来实现的。再举个例子，在走迷宫时可以往上下左右4个方向走，那么上下左右这4个便是4个

不同的动作。

这时我们便需要prv[i]中记录2个值，一个是前驱节点j，另一个是从j到i的动作。这个问题也很容易解决，只要写个结

构体就行了不是吗？

另一个问题当点是由（x,y）确定，而不是单一的编号确定时该怎么记录，这句话应该比较容易理解，当求城市间的

最短路时，不同的城市肯定是由一个不同的的编号来唯一确定的，可是如果在一个矩阵中，不同的点由一对（x,y）

确定时该怎么办呢？对比prv[i]=j代表j为i的前驱节点，是不是可以将prv定义成一个二维数组（当然前提是不会超过内

存限制），然后在prv[x1][y1]中记录2个值x2,y2，此时就可以很好的做到路径的记录了。

说这么多不如自己去实践一番，这里我仍然给出一个例题，将会用到上面给大家说的技巧：点击打开链接

题解大家可以在我的BFS专题或者本专题里找。