强连通分量——kosaraju算法

kosaraju算法，三大强连通分量算法之一，最简单、最好理解的求解有向图强连通分量的方法，单纯的两次深搜，就可以划分我们的图。

算法流程：
1、从任意一个点开始深搜，得到图的一个最晚完成时间的排序；
2、求图的反图；
3、根据第1步得到的排序，从最晚完成的一个点开始搜索并染色；
4、第三步每一次深搜完成就是一个强连通分量。

我们先给出代码，大家先看看（代码来自NOCOW）：

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXV = 1024;
int g[MAXV][MAXV], dfn[MAXV], num[MAXV], n, m, scc, cnt;
void dfs(int k)
{
    num[k] = 1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(g[k][i] && !num[i])
            dfs(i);
    dfn[++cnt] = k;                 //记录第cnt个出栈的顶点为k 
}
void ndfs(int k)
{
    num[k] = scc;                   //本次DFS染色的点，都属于同一个scc，用num数组做记录
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(g[i][k] && !num[i])              //注意我们访问的原矩阵的对称矩阵 
            ndfs(i);
}
void kosaraju()
{
    int i, j;
    for(i=1; i<=n; i++)             //DFS求得拓扑排序 
        if(!num[i])
            dfs(i);
    memset(num, 0, sizeof num);     
    /* 我们本需对原图的边反向，但由于我们使用邻接矩阵储存图，所以反向的图的邻接矩阵 即原图邻接矩阵的对角线对称矩阵，所以我们什么都不用做，只需访问对称矩阵即可*/ 
    for(i=n; i>=1; i--)
        if(!num[dfn[i]]){           //按照拓扑序进行第二次DFS 
            scc++;
            ndfs(dfn[i]); 
        }
    cout<<"Found: "<<scc<<endl;
}
int main()
{
    int i, j;
    cin>>n>>m;
    for(i=1; i<=m; i++){
        int x, y, z;
        cin>>x>>y>>z;
        g[x][y] = z;
    }
    kosaraju();
    return 0;
}

下面进行算法的具体分析。

算法思想：
其实这个算法是由两次搜索来完成的，一次搜索原图图，一次搜索反图（反图的意思就是把所有的边反过来，即graph[i][j] = graph[j][i]）下面给个图：

上图的反图为：

有了这两个图我们要干什么呢？答案是做两次深搜。

第一次深搜：
首先说明我们第一次深搜的目的——得到一个伪拓扑排序，这个拓扑排序是第二次深搜的准备，可以保证我们在第二次深搜的无条件染色过后轻易对原图进行分解。
这次搜索是对原图进行的，其实就是一个后序遍历。我们需要了解两个时间戳的概念——最早发现时间和最晚完成时间，我们可以参照算法导论给出几个符号表示：
对于U集合，有：
d_min{U}：最早发现时间；d_max{U}：最晚发现时间；
f_min{U}：最早完成时间；f_max{U}：最早完成时间 。
发现时间，指的是搜索开始的时间；完成时间，指的是搜索结束的时间。对于U集合，发现时间和完成时间的最值有四个（上面四个），指的是所有的点都符合的一个最值。
这几个时间有什么用呢？算法导论给出了一个引理：
引理22.14：设C和D为有向图G={ V , E }的两个不同的强连通分量。假如存在一条边( u , v )∈E，这里u∈C，v∈D，则f_max{C} > f_max{D} 。
这个引理的证明就不给出了，这里强调一下它说明了一件事——用任意的访问顺序搜索一个弱连通图，图里的强连通分量的最晚完成时间顺序一定。
我们就用上面的图来举例，很明显上图分为三个强连通分量——①｛1，2，3｝、②｛4，5，6｝和③｛7｝。假设分别1和4开始搜索：
于是有搜索顺序：
从1开始搜索：6，7，5，4，3，2，1
先搜5再搜1：4，6，7，5，3，2，1
我们可以发现，第一种的最晚完成时间排序是 ‘③ < ② < ①’，第二种也是 ‘③ < ② < ①’，符合引理的描述。这个搜索顺序的神奇之处即将揭晓。

第二次深搜：
第二次深搜，按排序进行无条件染色，即一次搜索找到的点属于一个强连通分量。这一次的搜索是在原图的反图上进行。
引理22.15：设C和D为有向图G={ V , E }的两个不同的强连通分量。假如存在一条边( v , u )∈E，这里u∈C，v∈D，则f_max{C} < f_max{D} 。
这个引理告诉我们，我们从排序的最后一个点开始搜索，一定不会找到别的连通分量的点。其实这个引理就是22.14的一种变形，它保证了kosaraju算法的正确运行！于是，我们知道了第一次深搜得到的排序的作用！

我们的算法完成了。

曾经的疑问：
1、为什么要用深度优先搜索树的后序遍历？前序遍历不可以吗？
答：当然不可以。如果是前序遍历，那么就是依据最早发现时间的排序，那么根据引理22.14，我们可以知道，前序遍历并不能保证不同连通分量之间有一个特定的排序。（看看算法导论的证明就懂了！）
2、为什么要搜索从最后一个点搜反图？从第一个点搜正图不行吗？
答：也是不可以。从第一个点开始就不是用的最晚完成时间的排序了，而是最早完成时间的排序了，可以有反例。比如，用上面那个图，搜到了一个排序‘6，7，5，4，3，2，1’，那么从第一个点开始搜正图——分量②和③将被染成一种颜色！

总结：
1、伪拓扑排序里面其实包含着一个缩点后的拓扑排序。
2、深搜果然是最神奇的算法！