NYOJ 104 最大和
参考别人的思路：
这道题可以看做是一维最大子串和
。
eg：5 -3 3 -8 10 -3 5 8 -6这个数列中，最大的子串和是10 -3 5 8 = 20。
当时采用的是用一个b[i]来记录：扫描到第i个元素时，其最大子串和：
其递归式是：
b[i]=max{a[i]，b[i-1]+a[i]}
这道题中，我们需要将二维的压缩成一维，然后进行如上算法，以本题为例，其步骤如下：
（1）压缩行
将每行自左向右做累加，存入
AssistMatrix[i][j]
中。于是上述矩阵就变为：
0 -2 -9 -9
9 11 5 7
-4 -3 -7 -6
-1 7 7 5 ………………【2】
AssistMatrix[i][j]表示第i行，自第1列累加到第j列的和。
如果想表示第i行，自第j列累加到第k列的和（j<=k），我们就可以用如下表达式：
AssistMatrix[i][k]-AssistMatrix[i][j-1]=第1列累加到第k列的和 - 第1列累加到第j-1列的和
这样做的好处就是可以将求第i行的第j列累加到第k列这个过程的算法复杂度从O(n)压缩到O(1)。
（2）利用一维dp，计算每一列最大和
对每列从第1行往第M行做DP。比如矩阵【2】中的第一列：0 9 -4 -1。
按照一维DP之后的b[]数组为：0 9 5 4，最大值为9，这就表明矩阵【1】中子矩阵
0
9
-4
-1
中的最大子矩阵和为9。
代码中共三层循环。
(1)最外层k循环是从1开始到row，控制行数，因为从第k行开始共有(n-k)(2*n - 2*i - 1)/2个子矩阵，因此要找出所有row*col子矩阵中最大子矩阵和,因此要用k控制行数，AssistMatrix[k][j]说明其第k行第j列子矩阵之和
(2)第二层i循环是从k开始到row，在第k行的基础上找出最大子矩阵之和
(3)第三层j循环式从1开始到col, 做一维DP。
所以其复杂度为O(n^3)。如果穷举的话，需要确定子矩阵左上角坐标x，y，需要O(n^2)；需要确定右下角坐标x，y，需要O(n^2)；需要循环计算子矩阵和，O(n^2)；一共是O(n^6)。
（3）备忘录
我们这种DP的解法是O(n^3)的时间复杂度，但是存储空间耗费不小，存b[][]，还要存做列DP之后的每行最优解。所以实际需要三维数组b来存放。但是我们采用一个备忘录变量值sum，在每次DP后记录其值，反复比较保留最大的sum。最后留下的即为最大子矩阵和。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <climits>
using namespace std;
const int MAXN = 110;
int row, col;
int Matrix[MAXN][MAXN];
int AssistMatrix[MAXN][MAXN];
void Find_SubMatrix()
{
memset(AssistMatrix, 0, sizeof(AssistMatrix));
for(int i = 1; i <= row; ++i)
{
for(int j = 1; j <= col; ++j)
AssistMatrix[i][j] = Matrix[i][j] + AssistMatrix[i-1][j];
}
int MAXSUM = INT_MIN;
int tmp = 0;
for(int k = 1; k <= row; ++k)
{
for(int i = k; i <= row; ++i)
{
tmp = 0;
for(int j = 1; j <= col; ++j)
{
if(tmp > 0)
tmp += AssistMatrix[i][j] - AssistMatrix[k-1][j];
else
tmp = AssistMatrix[i][j] - AssistMatrix[k-1][j];
if(tmp > MAXSUM)
MAXSUM = tmp;
}
}
}
cout<<MAXSUM<<endl;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>row>>col;
memset(Matrix, 0, sizeof(Matrix));
for(int i = 1; i <= row; ++i)
{
for(int j = 1; j <= col; ++j)
cin>>Matrix[i][j];
}
Find_SubMatrix();
}
return 0;
}