【BZOJ 1096】 [ZJOI2007]仓库建设

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据: 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 


斜率优化的dp。


f[i]表示在i点建厂(使i之前都完成)的最小费用。


f[i]=min(f[j]+(计算j-1到i+1的货物全部运到j的花费))    (j<i)


“计算j+1到i-1的货物全部运到j的花费”应该怎么算呢?


设sum[]是p[]的前缀和,如果j+1到i-1的货物都是从0运到i,花费为(sum[i-1]-sum[j])*x[i]。


对于每一个点k都多花了从0到k的费用,那么我们用b[]表示p[i]*x[i]的前缀和。


因此最终的dp方程为:


f[i]=min(f[j]+(sum[i-1]-sum[j])*x[i]-(b[i-1]-b[j]))    (j<i)


见到形如X*a+Y*b想到斜率优化。


假设j>k,且j的方案优于k:


(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/(sum[j]-sum[k])<x[i]


x[i]是单增的,因此不满足当前的x[i]一定不满足之后的x[i],直接从队列中删除。


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#define M 1000005
#define LL long long
using namespace std;
int n,q[M];
LL x[M],c[M],p[M],sum[M],b[M],f[M];
double slope(int j,int k)
{
	return (double)(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/(double)(sum[j]-sum[k]);
}
int main()
{
        scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x[i]>>p[i]>>c[i];
		sum[i]=sum[i-1]+p[i];
		b[i]=b[i-1]+p[i]*x[i];
	}
	int l=0,r=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		while (l<r&&slope(q[l+1],q[l])<(double)x[i])
			l++;
		int j=q[l];
		f[i]=f[j]+(sum[i-1]-sum[j])*x[i]-(b[i-1]-b[j])+c[i];
		while (l<r&&slope(i,q[r])<slope(q[r],q[r-1]))
			r--;
		q[++r]=i;
	}
	cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}



感悟:

1.一开始wa了,因为没有把int变成long long

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