catalan数与stirling数学习笔记（下）

（下）stirling数

stirling数也是组合数学里面一个非常实用的东西,它分为两类,下面我们来分别对两类进行探讨吧!

第一类stirling数

按照惯例我们首先还是贴维基百科的资料:

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目。常用的表示方法有。

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)=11：

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{A},{B,D,C}
{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}

给定s(n,0)=0,s(1,1)=1，有递归关系s(n,k)=s(n-1,k-1) + (n-1) s(n-1,k)
递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空循环排列，这样前n-1种物品构成k-1个非空循环排列，有s(n-1,k-1)种方法；也可以前n-1种物品构成k个非空循环排列，而第n个物品插入第i个物品的左边，这有(n-1)*s(n-1,k)种方法。

还有其他的一些性质感觉我这种水平不太用得上的就不看了.上面的东西也不是什么太难的东西,接下来我们来看第二类吧。

第二类stirlings数

第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。常用的表示方法有
换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只能所有人在同一组，因此S(4,1)=1；若所有人分成4组，只能每人独立一组，因此S(4,4)=1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
{C},{A,B,D}
{D},{A,B,C}

因此S(4,2)=7。

给定S(n,n)=S(n,1)=1，有递归关系S(n,k) = S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)
递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空集合，此时前n-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，有S(n-1,k-1)种方法；也可以前n-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第n个物品放入任意一个中，这样有k*S(n-1,k)种方法。

这就是第二类stirling数,递推式跟第一类的相比只有细微的差别,要是一个不难理解的东西.

那么到此我们对stirling数就有了一定的了解,其实仔细想想我们不难发现,这两个东西不就是dp么…不管怎样,也算是对推dp方程有了一定的启发,那么本文就到此结束了.
艾玛我捉这篇破东西都能拖好几天...