bzoj3667: Rabin-Miller算法

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思路：首先我们说说Miller_Rabin算法

我们发现了费马小定理

那它倒过来对不对呢

如果a^(p-1)=1(mod p),那么p一定是素数吗？

很不幸，是错的

虽然出错概率很低，但是可以被卡

于是我们就给它打补丁

我们又找到了一个二次探测的方法

如果p是质数，那么x^2=1(mod p)只有两个解1,p-1 (-1)

那么它倒过来对不对呢

很不幸，又是错的

但是两个错误算法加到一起，出错概率就很低了

那么我们先随机出一些数a[i]

每次拿出一个数a

先用费马小定理去测试

那么我们就要算a^(n-1)%n

把n-1拆成2^s*d的形式

这样我们就可以顺便进行二次探测了

先算出a^d次方

然后平方s次不就是a^(n-1)吗

平方的时候顺便检查一下

最后再用费马小定理检测即可

可以证明一次检测出错的概率是1/4

那么很多次后就几乎不出错了

然后就是pollard_rho了

设要分解的数是n

如果我们有两个随机数x，y

如果gcd(x-y,n)!=1&&gcd(x-y,n)!=n

那么p=gcd(x-y,n)是n的一个约数

随机根号n次（1，n）的数，就有很大概率有同样的数

那么随机根号p次，就很有可能有两个数的差是p的倍数了

这样我们就会走到一个环上，最后就相遇了、

实现时设计一个随机函数f(x)

设定k为此次暴力跳的路径长

每次倍长

x暴力迭代

每次做差求gcd

达到k次后把y赋为x

形象一点就是两个指针在rho型的东西上走

走到环上相同的点，就可以得到一个p的倍数，p是n的一个因子

然后把这个数和n求gcd，就有可能得到一个约数

先特判n是否为质数

然后因为有可能直接走到n的环，所以如果分解不出n之外的因子那就说明这个随机函数会使你直接走到n的环上，所以再换一个重试即可

拆出一个因数d后递归处理d和n/d即可

还有一点就是快速乘法，这题的模数是longlong的，但是又不想写高精度

一种处理是把乘法看做多次加法，类似快速幂去做

高端的O（1）做法是：

然后就可以解决这道模板题了