隐马尔科夫学习七（五）
出处：http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-seven-forward-backward-algorithm-5
七、前向-后向算法(Forward-backward algorithm)
上一节我们定义了两个变量及相应的期望值，本节我们利用这两个变量及其期望值来重新估计隐马尔科夫模型（HMM）的参数pi，A及B：
如果我们定义当前的HMM模型为
，那么可以利用该模型计算上面三个式子的右端；我们再定义重新估计的HMM模型为
，那么上面三个式子的左端就是重估的HMM模型参数。Baum及他的同事在70年代证明了
因此如果我们迭代地的计算上面三个式子，由此不断地重新估计HMM的参数，那么在多次迭代后可以得到的HMM模型的一个最大似然估计。不过需要注意的是，前向-后向算法所得的这个结果（最大似然估计）是一个局部最优解。
关于前向-后向算法和EM算法的具体关系的解释，大家可以参考HMM经典论文《A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition》，这里就不详述了。下面我们给出UMDHMM中的前向-后向算法示例，这个算法比较复杂，这里只取主函数，其中所引用的函数大家如果感兴趣的话可以自行参考UMDHMM。
前向-后向算法程序示例如下（在baum.c中):
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void BaumWelch(HMM *phmm, int T, int *O, double **alpha, double **beta, double **gamma, int *pniter, double *plogprobinit, double *plogprobfinal)
{ int i, j, k; int t, l = 0; double logprobf, logprobb, threshold; double numeratorA, denominatorA; double numeratorB, denominatorB; double ***xi, *scale; double delta, deltaprev, logprobprev; deltaprev = 10e-70; xi = AllocXi(T, phmm->N); scale = dvector(1, T); ForwardWithScale(phmm, T, O, alpha, scale, &logprobf); *plogprobinit = logprobf; /* log P(O |intial model) */ BackwardWithScale(phmm, T, O, beta, scale, &logprobb); ComputeGamma(phmm, T, alpha, beta, gamma); ComputeXi(phmm, T, O, alpha, beta, xi); logprobprev = logprobf; do { /* reestimate frequency of state i in time t=1 */ for (i = 1; i <= phmm->N; i++) phmm->pi[i] = .001 + .999*gamma[1][i]; /* reestimate transition matrix and symbol prob in each state */ for (i = 1; i <= phmm->N; i++) { denominatorA = 0.0; for (t = 1; t <= T - 1; t++) denominatorA += gamma[t][i]; for (j = 1; j <= phmm->N; j++) { numeratorA = 0.0; for (t = 1; t <= T - 1; t++) numeratorA += xi[t][i][j]; phmm->A[i][j] = .001 + .999*numeratorA/denominatorA; } denominatorB = denominatorA + gamma[T][i]; for (k = 1; k <= phmm->M; k++) { numeratorB = 0.0; for (t = 1; t <= T; t++) { if (O[t] == k) numeratorB += gamma[t][i]; } phmm->B[i][k] = .001 + .999*numeratorB/denominatorB; } } ForwardWithScale(phmm, T, O, alpha, scale, &logprobf); BackwardWithScale(phmm, T, O, beta, scale, &logprobb); ComputeGamma(phmm, T, alpha, beta, gamma); ComputeXi(phmm, T, O, alpha, beta, xi); /* compute difference between log probability of two iterations */ delta = logprobf - logprobprev; logprobprev = logprobf; l++; } while (delta > DELTA); /* if log probability does not change much, exit */ *pniter = l; *plogprobfinal = logprobf; /* log P(O|estimated model) */ FreeXi(xi, T, phmm->N); free_dvector(scale, 1, T); } |
前向-后向算法就到此为止了。