2004: [Hnoi2010]Bus 公交线路

2004: [Hnoi2010]Bus 公交线路

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Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路： 1． 设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。 2． 每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和终点站也算被经过）。 3． 公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。 4． 一辆公交车经过的相邻两个站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【样例说明】 样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9) 样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5) 【数据规模】 40% N<=1000 100% 1

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搞了好久好久。。。

先解决基本问题，用f[i][j]表示最前面的车开到第i个站，当前车的状态是一个二进制数j

那么f[i][j] = ∑f[l][j']，其中，l∈[k,i),j'能够转换到j(即能够通过移动一辆车使状态j’变为状态j)

利用题目中的限制条件p，将所有bus的移动强制限定在一起，即最前面的bus和最后面的bus相距不超过p

这样状态数就不会超过1024种，而为使状态j合法，必须令j的最高位为1(最前面的bus)，

这样状态就不超过C(9,4) = 126种

对于每个状态j，若j'能转移到它，那么无论多少次以后,j'仍然能转移到它，即f[i][j]总是由f[i-1]中某些状态j’转移而来，那么就能写矩阵乘法快速算出答案

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 130;
const int mo = 30031;

int n,k,p,tot,goal,sit[1100];

struct data{
	int a[maxn][maxn];
	data() {memset(a,0,sizeof(a));}
	data operator * (const data &b) {
		data c;
		for (int i = 1; i <= tot; i++)	
			for (int j = 1; j <= tot; j++)
				for (int l = 1; l <= tot; l++)
					c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a[i][l]*b.a[l][j]%mo)%mo;
		return c;
	}
}ans,T;

bool cal(int x)
{
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= p; i++) {
		if (i == p && !x) return 0;
		sum += (x&1); x >>= 1;
	}
	return sum == k;
}

bool Judge(int from,int to)
{
	from >>= 1; from += (1<<(p-1));
	if (from == to) return 1;
	int tmp = from^to;
	for (int i = 1; ; i <<= 1) {
		if (i == tmp) return 1;
		if (i > tmp) return 0;
	}
}

data ksm(data now,int y)
{
	data ret;
	for (int i = 1; i <= tot; i++) ret.a[i][i] = 1;
	for (; y; y >>= 1) {
		if (y & 1 ) ret = ret*now;
		now = now*now;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	#ifdef YZY
		freopen("yzy.txt","r",stdin);
	#endif
	
	cin >> n >> k >> p;
	goal = (1<<p) - (1<<(p-k));
	for (int i = (1<<(p-1)); i < (1<<p); i++) {
		if (cal(i)) sit[++tot] = i;
		if (i == goal) goal = tot;
	}
	for (int i = 1; i <= tot; i++)
		for (int j = 1; j <= tot; j++)
			if (Judge(sit[i],sit[j]))
				T.a[j][i] = 1;
	T = ksm(T,n-k);
	ans.a[1][goal] = 1;
	ans = ans*T;
	cout << ans.a[1][goal];
	return 0;
}