红黑树----第四篇：一步一图一代码，一定要让你真正彻底明白红黑树 --- 很好
一步一图一代码，一定要让你真正彻底明白红黑树
作者：July 二零一一年一月九日
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本文参考：
I、 The Art of Computer Programming Volume I
II、 Introduction to Algorithms, Second Edition
III、The Annotated STL Sources
IV、 Wikipedia
V、 Algorithms In C Third Edition
VI、 本人写的关于红黑树的前三篇文章：
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前言：
1、有读者反应，说看了我的前几篇文章，对红黑树的了解还是不够透彻。
2、我个人觉得，如果我一步一步，用图+代码来阐述各种插入、删除情况，可能会更直观易懂。
3、既然写了红黑树，那么我就一定要把它真正写好，让读者真正彻底明白红黑树。
本文相对我前面红黑树相关的3篇文章，主要有以下几点改进：
1.图、文字叙述、代码编写，彼此对应，明朗而清晰。
2.宏观总结，红黑树的性质与插入、删除情况的认识。
3.代码来的更直接，结合图，给你最直观的感受，彻底明白红黑树。
ok，首先，以下几点，你现在应该是要清楚明白了的：
I、红黑树的五个性质：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。
II、红黑树插入的几种情况：
情况1，z的叔叔y是红色的。
情况2：z的叔叔y是黑色的，且z是右孩子
情况3：z的叔叔y是黑色的，且z是左孩子
III、红黑树删除的几种情况。
情况1：x的兄弟w是红色的。
情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
情况3：x的兄弟w是黑色的，且w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。
情况4：x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子是红色的。
除此之外，还得明确一点：
IV、我们知道，红黑树插入、或删除结点后，
可能会违背、或破坏红黑树的原有的性质，
所以为了使插入、或删除结点后的树依然维持为一棵新的红黑树，
那就要做俩方面的工作：
1、部分结点颜色，重新着色
2、调整部分指针的指向，即左旋、右旋。
V、并区别以下俩种操作：
1)红黑树插入、删除结点的操作，RB-INSERT(T, z)，RB-DELETE(T, z)
2).红黑树已经插入、删除结点之后，
为了保持红黑树原有的红黑性质而做的恢复与保持红黑性质的操作。
如RB-INSERT-FIXUP(T, z)，RB-DELETE-FIXUP(T, x)
以上这5点，我已经在我前面的2篇文章，都已阐述过不少次了，希望，你现在已经透彻明了。
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本文，着重图解分析红黑树插入、删除结点后为了维持红黑性质而做修复工作的各种情况。
[下文各种插入、删除的情况，与我的第二篇文章，红黑树算法的实现与剖析相对应]
ok，开始。
一、在下面的分析中，我们约定：
要插入的节点为，N
父亲节点，P
祖父节点，G
叔叔节点，U
兄弟节点，S
如下图所示，找一个节点的祖父和叔叔节点:
node grandparent(node n) //祖父
{
return n->parent->parent;
}
node uncle(node n) //叔叔
{
if (n->parent == grandparent(n)->left)
return grandparent(n)->right;
else
return grandparent(n)->left;
}
二、红黑树插入的几种情况
情形1: 新节点N位于树的根上，没有父节点
void insert_case1(node n) {
if (n->parent == NULL)
n->color = BLACK;
else
insert_case2(n);
}
情形2: 新节点的父节点P是黑色
void insert_case2(node n) {
if (n->parent->color == BLACK)
return; /* 树仍旧有效 */
else
insert_case3(n);
}
情形3:父节点P、叔叔节点U，都为红色，
[对应第二篇文章中，的情况1：z的叔叔是红色的。]
void insert_case3(node n) {
if (uncle(n) != NULL && uncle(n)->color == RED) {
n->parent->color = BLACK;
uncle(n)->color = BLACK;
grandparent(n)->color = RED;
insert_case1(grandparent(n)); //因为祖父节点可能是红色的，违反性质4，递归情形1.
}
else
insert_case4(n); //否则，叔叔是黑色的，转到下述情形4处理。
此时新插入节点N做为P的左子节点或右子节点都属于上述情形3,上图仅显示N做为P左子的情形。
情形4: 父节点P是红色，叔叔节点U是黑色或NIL;
插入节点N是其父节点P的右孩子，而父节点P又是其父节点的左孩子。
[对应我第二篇文章中，的情况2：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子]
void insert_case4(node n) {
if (n == n->parent->right && n->parent == grandparent(n)->left) {
rotate_left(n->parent);
n = n->left;
} else if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->right) {
rotate_right(n->parent);
n = n->right;
}
insert_case5(n); //转到下述情形5处理。
情形5: 父节点P是红色，而叔父节点U 是黑色或NIL，
要插入的节点N 是其父节点的左孩子，而父节点P又是其父G的左孩子。
[对应我第二篇文章中，情况3：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子。]
void insert_case5(node n) {
n->parent->color = BLACK;
grandparent(n)->color = RED;
if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->left) {
rotate_right(grandparent(n));
} else {
/* 反情况，N 是其父节点的右孩子，而父节点P又是其父G的右孩子 */
rotate_left(grandparent(n));
}
}
三、红黑树删除的几种情况
上文我们约定，兄弟节点设为S，我们使用下述函数找到兄弟节点:
struct node * sibling(struct node *n) //找兄弟节点
{
if (n == n->parent->left)
return n->parent->right;
else
return n->parent->left;
}
情况1: N 是新的根。
void
delete_case1(struct node *n)
{
if (n->parent != NULL)
delete_case2(n);
}
情形2：兄弟节点S是红色
[对应我第二篇文章中，情况1：x的兄弟w是红色的。]
void delete_case2(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if (s->color == RED) {
n->parent->color = RED;
s->color = BLACK;
if (n == n->parent->left)
rotate_left(n->parent); //左旋
else
rotate_right(n->parent);
}
delete_case3(n);
}
情况 3: 兄弟节点S是黑色的，且S的俩个儿子都是黑色的。但N的父节点P，是黑色。
[对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且兄弟w的俩个儿子都是黑色的。
(这里，父节点P为黑)]
void delete_case3(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if ((n->parent->color == BLACK) &&
(s->color == BLACK) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == BLACK)) {
s->color = RED;
delete_case1(n->parent);
} else
delete_case4(n);
}
情况4: 兄弟节点S 是黑色的、S 的儿子也都是黑色的，但是 N 的父亲P，是红色。
[还是对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
(这里，父节点P为红)]
void delete_case4(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if ((n->parent->color == RED) &&
(s->color == BLACK) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == BLACK)) {
s->color = RED;
n->parent->color = BLACK;
} else
delete_case5(n);
}
情况5: 兄弟S为黑色，S 的左儿子是红色，S 的右儿子是黑色，而N是它父亲的左儿子。
//此种情况，最后转化到下面的情况6。
[对应我第二篇文章中，情况3：x的兄弟w是黑色的，w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。]
void delete_case5(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if (s->color == BLACK)
if ((n == n->parent->left) &&
(s->right->color == BLACK) &&
(s->left->color == RED)) {
// this last test is trivial too due to cases 2-4.
s->color = RED;
s->left->color = BLACK;
rotate_right(s);
} else if ((n == n->parent->right) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == RED)) {
// this last test is trivial too due to cases 2-4.
s->color = RED;
s->right->color = BLACK;
rotate_left(s);
}
}
delete_case6(n); //转到情况6。
情况6: 兄弟节点S是黑色，S的右儿子是红色，而 N 是它父亲的左儿子。
[对应我第二篇文章中，情况4:x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子时红色的。]
void delete_case6(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
s->color = n->parent->color;
n->parent->color = BLACK;
if (n == n->parent->left) {
s->right->color = BLACK;
rotate_left(n->parent);
} else {
s->left->color = BLACK;
rotate_right(n->parent);
}
}
//呵呵，画这12张图，直接从中午画到了晚上。希望，此文能让你明白。
四、红黑树的插入、删除情况时间复杂度的分析
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，
因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。
然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。
恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和
不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。
虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。
ok，完。
后记：
此红黑树系列，前前后后，已经写了4篇文章，如果读者读完了这4篇文章，
对红黑树有一个相对之前来说，比较透彻的理解，
那么，也不枉费，我花这么多篇幅、花好几个钟头去画红黑树了。
真正理解一个数据结构、算法，最紧要的还是真正待用、实践的时候体会。
欢迎，各位，将现在、或以后学习、工作中运用此红黑树结构、算法的经验与我分享。
谢谢。:D。
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作者声明:
本人July对本博客所有文章和资料享有版权，转载、或引用任何内容请注明出处。
向您的厚道致敬。谢谢。二零一一年一月九日。
- 35楼 凡鸟 2013-04-06 12:23发表 [回复]
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- 求楼主分享下学习方法。。。我上大二，苦苦挣扎不得要领。。。。
- 34楼 garyzhang2681 2013-03-21 10:43发表 [回复]
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- 楼主，在情况三的代码中，else语句中是否应该是 delete_case4(n->parent); 而不是 delete_case4(n);
- 33楼 ljn409177477 2013-01-11 17:44发表 [回复]
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hi，博主，红黑树删除的第二种情况有些困扰：”情形2：兄弟节点S是红色
[对应我第二篇文章中，情况1：x的兄弟w是红色的。]“但是我看了这种情况没有违反红黑树的5个性质啊，为什么要拉出来做处理呢？如果有，请问是违反了哪条性质？- Re: 小瑾 2013-01-16 21:48发表 [回复]
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回复ljn409177477：通过 N 的路径上对黑色节点数目减1
- Re: ljn409177477 2013-01-16 22:41发表 [回复]
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回复tang_jin2015：你的意思是违反了第五条性质：对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点？这点不符合？
- Re: 小瑾 2013-01-25 21:39发表 [回复]
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回复ljn409177477：是的呀，若原来删除节点为x，那么现在的n就是x的孩子节点，拉出来讲的原因是x是黑色节点，也就是说经过n的节点少了一个黑色节点，情况2的处理并没有改变经过每一个节点的黑色节点，只是为了更好的处理。从情况2会进入到情况3，4，5
- Re: 小瑾 2013-01-25 21:40发表 [回复]
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- 回复tang_jin2015：不知这样是否是正解，还望各位指出错误
- 32楼 i_Programmer 2012-08-01 00:53发表 [回复]
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唉，算法。爱在心口难开。
拿什么拯救你，我的算法。
- 31楼 luoqing123654 2012-07-12 16:01发表 [回复]
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非常感谢博主的分享。(*^__^*) 嘻嘻。有些疑问，想请教下~
红黑树中的红子必生黑子，某结点后代中黑子数目相同使得，其最长路径的长度不会超过最短路径上的2倍。因为每条路径上的黑子数相同固定，红子的数目不会超过黑子。这样根据红黑树近似的递归性质，使得每个局部子树都保持平衡，即平衡因子的绝对值不超过1.
从而可以得知红黑树是一棵平衡二叉树。通过其定义的性质以及红黑颜色表征平衡信息。但是从红黑树的五个性质是不能确定其是二叉排序树，除非定义为如此。
弱弱的问一句，红黑树是平衡二叉树，平衡二叉树不改变其树结构，通过只设置结点颜色，是否可以变成红黑树？平衡二叉树与红黑树的联系和区别是什么？
看了博客的红黑树的讲解，非常透彻简明，由于本人愚钝，总是知其然，不知其所以然。博主能否简单讲解红黑树插入删除背后的原理或思想。如左旋右旋就是在升降之间来调节平衡~
再次表示感谢~~
- 30楼 yihukurama 2012-06-25 16:41发表 [回复]
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- 谢谢博主，花那么大心思为我们这些小菜。另外还有个问题想问问，删除操作情况5情况6说n是他父亲的左孩子，如果n是他父亲的右孩子呢？为什么没有这种情况，是不可能发生还是已经包含在某些地方了？导论书上写得不详尽啊。
- 29楼 歌神的卖 2012-05-12 16:42发表 [回复]
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- 感谢博主
- 28楼 do616691932 2012-04-06 22:10发表 [回复]
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- 膜拜之 好厉害 我看STL看了好久 被绕死了~~~~~~~
- 27楼 dududu01 2012-03-28 14:59发表 [回复]
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- 你太伟大了，
- 26楼 dududu01 2012-03-28 08:30发表 [回复]
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- 太厉害了。好佩服啊。。
- 25楼 yuan1024 2012-03-24 15:11发表 [回复]
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- 楼主真是太牛了，讲得真的够详细的，特别有条理性，非常适合新手看看，红黑树，讲的经典
- 24楼 SVKING 2012-03-14 14:15发表 [回复]
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- 楼主辛苦了，花了这么长时间，不容易啊！！！
- 23楼 emeraldttt 2012-03-01 09:13发表 [回复]
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- 楼主东西太好了。
- 22楼 youqika 2012-02-01 18:16发表 [回复]
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bz怎么不去大学当老师啊，可以拯救很多学生
- Re: v_JULY_v 2012-03-28 08:52发表 [回复]
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- 回复youqika：额，这个，得看机会，机会来了自然便去了
- 21楼 Never_for_Never 2011-11-27 10:40发表 [回复]
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看了这篇文章……楼主辛苦了！
但是：这样看就算懂了如何操作，也没意思！不是自己的~
- 20楼 chenxiancool 2011-10-09 10:36发表 [回复]
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- 你好，我刚接触红黑树，是不是使用红黑树时只要记得规则就行了，怎样才能更深一层的理解其精髓呢（每种情况为何要那样处理），谢谢
- 19楼 zszjian 2011-08-09 15:48发表 [回复]
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- 第二张图的S节点位置好像有点问题？
- 18楼 woshinideshenm 2011-07-13 20:35发表 [回复]
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- 太性了，一般人做不到啊
- 17楼 nicky918 2011-06-08 10:10发表 [回复]
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- [e04]
- 16楼 randyjiawenjie 2011-05-18 16:53发表 [回复]
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- [e03][e03][e03]
- 15楼 xitan198704 2011-05-17 23:47发表 [回复]
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- 赞楼主这么认真和热心的精神，内容也非常好！
- 14楼 angtylook 2011-05-02 22:30发表 [回复]
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- [e07]还是不知道为什么这样子着色，旋转就能保持红黑树的性质不变。
- 13楼 空穴来风 2011-04-04 23:57发表 [回复]
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- [e01]
- 12楼 caoxuanwei 2011-03-14 16:29发表 [回复]
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- [e01]
- 11楼 mascon 2011-03-12 12:46发表 [回复]
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- 项一下，多谢分享哈
- 10楼 yxm870915 2011-02-19 00:22发表 [回复]
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- [e01]
- 9楼 qqhmitzk 2011-02-14 11:37发表 [回复]
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- 算法方面的好文章，谢谢共享
- 8楼 北极熊 2011-01-24 10:47发表 [回复]
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- [e01]
- 7楼 q363742533 2011-01-21 19:00发表 [回复]
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不错，顶起！
- Re: v_JULY_v 2011-01-22 17:33发表 [回复]
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- 回复 q363742533：thanks。
- 6楼 suds 2011-01-17 17:35发表 [回复]
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太帅了，我好好看看
- Re: v_JULY_v 2011-01-22 17:34发表 [回复]
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- 回复 suds：:D。
- 5楼 chhrsas 2011-01-12 14:02发表 [回复]
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- 不得不顶啊。
- 4楼 chjttony 2011-01-10 17:02发表 [回复]
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收藏！
- Re: v_JULY_v 2011-01-10 17:05发表 [回复]
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- 回复 chjttony：~
- 3楼 v_JULY_v 2011-01-09 10:57发表 [回复]
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- 至于为什么要重新着色，左旋、右旋，请紧紧抓住红黑树的5点性质不放。所有的工作，重新着色、左旋或右旋，都只是为了继续保持红黑树的5点性质。
- 2楼 v_JULY_v 2011-01-09 10:41发表 [回复] [引用] [举报]
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好好体会红黑树插入、删除的那几种情况。
- Re: v_JULY_v 2011-01-09 10:41发表 [回复]
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回复 v_JULY_v：红黑树删除的几种情况。
情况1：x的兄弟w是红色的。
情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
情况3：x的兄弟w是黑色的，且w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。
情况4：x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子是红色的。
- Re: v_JULY_v 2011-01-09 10:41发表 [回复] [引用] [举报]
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回复 v_JULY_v：红黑树插入的几种情况：
情况1，z的叔叔y是红色的。
情况2：z的叔叔y是黑色的，且z是右孩子
情况3：z的叔叔y是黑色的，且z是左孩子
- 1楼 v_JULY_v 2011-01-09 10:25发表 [回复]
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- 单单这12张图，就画了我昨天整整一个下午。希望，此文能更有用。