外排之多路归并的败者树

编程珠玑第一个case是有关一个技巧性解决外部排序问题的。问题很巧妙的解决了，但一开始提到的利用归并排序进行外部排序的算法仍值得仔细探究一下，毕竟本科时学的不是很深入。

    先来看内部排序中最简单的2路归并排序算法。

    算法核心操作是将一维数组中前后相邻的两个有序序列归并为一个有序序列，给定数组中序列界限i、m、n，用2个下标变量分别从i和j=m+1开始逐个往后处理，先比较，小的写到结果序列的当前遍历下标k中，相应下标自增继续比较直到某个序列的下标走到边界，再将另外一个序列的剩余元素拷贝到结果序列中。

    算法可用递归或递推实现，从相邻的两两元素开始不断调用上面的核心操作组成较长有序序列直到完成整个序列。

    算法进行一趟归并就得到一个局部有序的完整新序列，n个元素共需要log2n趟归并，每趟完成比较操作n次（1次得到序列的1个值），得到的新序列写到结果序列空间中，下一趟之前要先将结果序列复制一份到临时空间，下一趟归并在临时空间上进行。因此时间复杂度nlog2n，空间上除了原始序列空间n、结果序列空间n，还需要辅助临时空间n。

 

    接下来看外部排序。外部排序指的是大文件的排序，即待排序的记录存储在外存储器上，待排序的文件无法一次装入内存，需要在内存和外部存储器之间进行多次数据交换，以达到排序整个文件的目的。外部排序最常用的算法是多路归并排序，即将原文件分解成多个能够一次性装入内存的部分，分别把每一部分调入内存完成排序。然后，对已经排序的子文件进行多路归并排序。

    多路归并排序算法在常见数据结构书中都有涉及。从2路到多路（k路），增大k可以减少外存信息读写时间，但k个归并段中选取最小的记录需要比较k-1次，为得到u个记录的一个有序段共需要(u-1)(k-1)次，若归并趟数为s次，那么对n个记录的文件进行外排时，内部归并过程中进行的总的比较次数为s(n-1)(k-1)，也即(向上取整)(logkm)(k-1)(n-1)=(向上取整)(log2m/log2k)(k-1)(n-1)，而(k-1)/log2k随k增而增因此内部归并时间随k增长而增长了，抵消了外存读写减少的时间，这样做不行，由此引出了“败者树”tree of loser的使用。在内部归并过程中利用败者树将k个归并段中选取最小记录比较的次数降为(向上取整)(log2k)次使总比较次数为(向上取整)(log2m)(n-1)，与k无关。

    败者树是完全二叉树，因此数据结构可以采用一维数组。其元素个数为k个叶子结点、k-1个比较结点、1个冠军结点共2k个。ls[0]为冠军结点，ls[1]--ls[k-1]为比较结点，ls[k]--ls[2k-1]为叶子结点（同时用另外一个指针索引b[0]--b[k-1]指向）。另外bk为一个附加的辅助空间，不属于败者树，初始化时存着MINKEY的值。

    多路归并排序算法的过程大致为：首先将k个归并段中的首元素关键字依次存入b[0]--b[k-1]的叶子结点空间里，然后调用CreateLoserTree创建败者树，创建完毕之后最小的关键字下标（即所在归并段的序号）便被存入ls[0]中。然后不断循环：把ls[0]所存最小关键字来自于哪个归并段的序号得到为q，将该归并段的首元素输出到有序归并段里，然后把下一个元素关键字放入上一个元素本来所在的叶子结点b[q]中，调用Adjust顺着b[q]这个叶子结点往上调整败者树直到新的最小的关键字被选出来，其下标同样存在ls[0]中。循环这个操作过程直至所有元素被写到有序归并段里。

    伪代码如下：

void Adjust(LoserTree &ls, int s)
/*从叶子结点b[s]到根结点的父结点ls[0]调整败者树*/
{  int t, temp;
   t=(s+K)/2;          /*t为b[s]的父结点在败者树中的下标，K是归并段的个数*/
   while(t>0)                         /*若没有到达树根，则继续*/
   {     if(b[s]>b[ls[t]])        /*与父结点指示的数据进行比较*/
               {  /*ls[t]记录败者所在的段号，s指示新的胜者，胜者将去参加更上一层的比较*/
                  temp=s;
                  s=ls[t];
                  ls[t]=temp; 
                }
           t=t/2;                     /*向树根退一层，找到父结点*/
   }
  ls[0]=s;                           /*ls[0]记录本趟最小关键字所在的段号*/
}

void K_merge( int ls[K])
/*ls[0]~ls[k-1]是败者树的内部比较结点。b[0]~b[k-1]分别存储k个初始归并段的当前记录*/
/*函数Get_next(i)用于从第i个归并段读取并返回当前记录*/
{   int b[K+1),i,q;
     for(i=0; i<K;i++)               
     {   b[i]=Get_next(i);           /*分别读取K个归并段的第一个关键字*/  }
     b[K]=MINKEY;                        /*创建败者树*/
     for(i=0; i<K ; i++)                    /*设置ls中的败者初值*/
           ls[i]=K;
     for(i=K-1 ; i>=0 ; i--)                /*依次从b[K-1]……b[0]出发调整败者*/
          Adjust(ls , i);             /*败者树创建完毕，最小关键字序号存入ls[0]
     while(b[ls[0]] !=MAXKEY )
     {   q=ls[0];                        /*q为当前最小关键字所在的归并段*/
          prinftf("%d",b[q]);
          b[q]=Get_next(q);
          Adjust(ls,q);                /*q为调整败者树后，选择新的最小关键字*/
     }
} 

    最后，对使用多路归并排序来进行外部排序的过程大致描述一下：根据有限的内存资源将大文件分为L个段，然后依次将这L个段读入内存并利用高效的内部排序算法对每个段进行排序，排序后的结果即为初始有序归并段直接写入外存文件。内部排序时要选择合适的排序算法，并且要考虑到内部排序需要的辅助空间以及有限的内存空间来决定究竟要把大文件分为几个段。接下来选择合适的路数k对这L个归并段进行多路归并排序，每一趟归并使k个归并段变为1个较大归并段写入文件，反复几趟归并后得到整个有序的文件。在多路归并过程中，内存空间只需要维护一个大小为2k的败