附加理论材料课程笔记

几何PMF的方差

附加理论材料课程笔记_第1张图片

容斥定理

附加理论材料课程笔记_第2张图片

我们可以用指示器随机变量来推导出上面的公式:

通过先前的学习,已经知道对于一个事件A的指示器随机变量的期望为 E[IA]=P(A)

设事件A = A1A2A3 ,它的指示器随机变量为 IA ,则 P(A)=E[IA]

设事件 A1 的指示器随机变量为 X1 ,则 Ac1 的指示器随机变量为1 - X1
设事件 A2 的指示器随机变量为 X2 ,则 Ac2 的指示器随机变量为1 - X2
设事件 A3 的指示器随机变量为 X3 ,则 Ac3 的指示器随机变量为1 - X3

根据De Morgan’s laws可得: A1A2A3=1Ac1Ac2Ac3

E[IA]=E[1(1X1)(1X2)(1X3)]=E[11+X1+X2+X3X1X2X1X3X2X3+X1X2X3]

根据期望的线性性质可得: E[IA]=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)+P(A1A2A3)=P(A)=P(A1A2A3)

同理可证更为通用的表达式如下:

容斥定理

随机变量的独立性与事件的独立性之间的关系

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