附加理论材料课程笔记

几何PMF的方差

容斥定理

我们可以用指示器随机变量来推导出上面的公式：

通过先前的学习，已经知道对于一个事件A的指示器随机变量的期望为 E[IA]=P(A) 。

设事件A = A1∪A2∪A3 ，它的指示器随机变量为 IA ，则 P(A)=E[IA]

设事件 A1 的指示器随机变量为 X1 ，则 Ac1 的指示器随机变量为1 - X1 ；
设事件 A2 的指示器随机变量为 X2 ，则 Ac2 的指示器随机变量为1 - X2 ；
设事件 A3 的指示器随机变量为 X3 ，则 Ac3 的指示器随机变量为1 - X3 ；

根据De Morgan’s laws可得： A1∪A2∪A3=1−Ac1∩Ac2∩Ac3

E[IA]=E[1−(1−X1)(1−X2)(1−X3)]=E[1−1+X1+X2+X3−X1∗X2−X1∗X3−X2∗X3+X1∗X2∗X3]

根据期望的线性性质可得： E[IA]=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1∩A2)−P(A1∩A3)−P(A2∩A3)+P(A1∩A2∩A3)=P(A)=P(A1∪A2∪A3)

同理可证更为通用的表达式如下：

随机变量的独立性与事件的独立性之间的关系